河南省豫西名校2020-2021学年高一上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 一个球的表面积是 $36 π$ ，那么这个球的体积为（）

A、 $\frac{16}{3} π$ B、 $\frac{32}{3} π$ C、 $36 π$ D、 $24 π$

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2. 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A、圆柱 B、圆锥 C、四面体 D、三棱柱

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3. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时 $f (x) = 2^{x} + x^{2}$ ，则 $f (1) + f (- 2) =$ （）

A、-8 B、-4 C、-5 D、11

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4. 下列结论不正确的是（）

A、棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B、在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 C、存在每个面都是直角三角形的四面体 D、棱台的侧棱延长后交于一点

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5. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 侧棱长 $P A = 2$ ， $∠ A P B = 40 °$ ．一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到 $A$ 点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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6. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列条件中能推出 $m ⊥ n$ 的是（）

A、 $m ⊥ α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$ B、 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$ C、 $m \subset α$ ， $n ⊥ β$ ， $α // β$ D、 $m \subset α$ ， $n // β$ ， $α ⊥ β$

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7. 某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形 $O_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ 如图（2），其中O₁A₁=6，O₁C₁=2 ，则该几何体的侧面积为（）

A、48 B、64 C、96 D、128

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8. 已知圆锥的底面周长 $2 π$ ，母线长为3，则该圆锥的内切球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $2 π$

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9. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 在线段 $C B_{1}$ 上，且 $B_{1} P = 2 P C$ ，过点 $A$ ， $P$ ， $C_{1}$ 的平面分别交 $B C$ ， $A_{1} D_{1}$ 于点 $E$ ， $F$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $A C_{1} ⊥ E F$ B、 $A_{1} B //$ 平面 $A C_{1} F$ C、平面 $A E C_{1} F ⊥$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ D、过点 $A$ ， $P$ ， $C_{1}$ 的截面的面积为 $2 \sqrt{6}$

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10. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，所有侧棱都为 $4 \sqrt{2}$ ，底面是边长为 $2 \sqrt{6}$ 的正方形， $O$ 是 $P$ 在平面 $A B C D$ 内的射影， $M$ 是 $P C$ 的中点，则异面直线 $O P$ 与 $B M$ 所成角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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11. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、5

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | \log_{2} x | ， x \in (0 ， 2] \\ 3 - x ， x \in (2 ， + \infty) \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有三个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 1)$

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二、填空题

13. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，除面 $A B C D$ 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ， F ， G ， H ， M(如图)，则四棱锥 $M - E F G H$ 的体积为

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14. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $D_{1} E$ 上．点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离的最小值为．

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15. 已知方程 $e^{x} + x = 2$ 的根为 $α$ ，方程 $\ln x + x = 2$ 的根为 $β$ ，则 $α + β =$ ．

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $P$ 在底面 $A B C$ 上的投影为 $A C$ 的中点 $D$ ， $D P = D C = 1$ ，对于下列结论：
①三棱锥 $P - A B C$ 的三条侧棱长均相等；

② $∠ P A B$ 的取值范围是 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ；

③若三棱锥的四个顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为 $\frac{2 π}{3}$ ；

其中所有正确结论的编号是．

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三、解答题

17. 若长方体的相邻三个面的面积分别为 $\sqrt{2} ， \sqrt{3} ， \sqrt{6}$ ，求长方体的体对角线的长.

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18.

(1)、已知 $10^{m} = 2$ ， $10^{n} = 3$ ，求 $10^{\frac{3 m - 2 n}{2}}$ 的值；

(2)、计算： $\lg \frac{1}{2} - \lg \frac{5}{8} + \lg \frac{5}{4} - \log_{9} 2 \cdot \log_{4} 3$ ．

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = P B$ ，且 $A B ⊥ P C$ .

(1)、求证： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $△ A B P$ 为等边三角形，边长为2， $P C = \sqrt{11}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积.

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20. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + (a + 1) x (a \in R)$ .

(1)、若对于任意 $x \in [1 ， 2]$ ，恒有 $f (x) \geq 2 x^{2}$ 成立，求实数a的取值范围；

(2)、若 $a \geq 2$ ，求函数 $f (x)$ 在区间[0， 2]上的最大值 $g (a)$ .

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21. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形， $D C ⊥$ 平面ABC， $A B = 4$ ， $E B = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $D E ⊥$ 平面ACD；

(2)、设 $A C = x$ ， $V (x)$ 表示三棱锥B-ACE的体积，求函数 $V (x)$ 的解析式及最大值．

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22. 在如图所示的五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ D A B = 60 ° ， E A = E D = A B = 2 E F = 2 ， E F / / A B ， M$ 为 $B C$ 中点.

(1)、求证： $F M ∕ ∕$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求 $F$ 到平面 $B D E$ 的距离.

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