河南省豫南九校2020-2021学年高一上学期数学第三次联考试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设直线 $l$ 与平面 $α$ 平行，直线 $m$ 在平面 $α$ 上，那么（）

A、直线 $l$ 不平行于直线 $m$ B、直线 $l$ 与直线 $m$ 异面 C、直线 $l$ 与直线 $m$ 没有公共点 D、直线 $l$ 与直线 $m$ 不垂直

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2. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {(x ， y) | x \in A ， y \in A ， x - y \in A}$ ，则 $B$ 中所含元素的个数为（）

A、3 B、6 C、8 D、10

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3. 下列说法不正确的是（）

A、若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱 B、当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆 C、平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面 D、直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

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4. 将下面的展开图恢复成正方体后， $∠ A B C$ 的度数为（）

A、22.5° B、45° C、60° D、90°

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5. 一水平放置的平面四边形 $O A B C$ 用斜二测画法绘制的直观图 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $O^{'} C^{'} ⊥ x^{'}$ ， $A^{'} B^{'} ⊥ x^{'}$ ， $B^{'} C^{'} // y^{'}$ ，四边形 $O A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (x + 1) ， x \geq 0 ， \\ 0 ， x < 0 ， \end{array}$ 若 $f (x - 4) < f (2 x - 3)$ ，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $[4 ， + \infty)$

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7. 函数 $f (x) = \log_{2} (a x - 1)$ 在区间 $[1 ， 3]$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{3})$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（）（假定沙堆的底面是水平的）

A、 $1 ： 2$ B、 $(\sqrt{2} + 1) ： 1$ C、 $1 ： \sqrt{2}$ D、 $1 ： (\sqrt[3]{2} - 1)$

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9. 已知函数 $f (x)$ 的图像关于原点对称，且满足 $f (x + 4) + f (- x) = 0$ ，当 $x \in (2 ， 4)$ 时， $f (x) = - \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) + m$ ，若 $\frac{f (2021) - 1}{2} = f (- 1)$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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10. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $B C = 2 A D$ ， $Δ P A B$ 和 $Δ P A D$ 都是等边三角形，则异面直线 $C D$ 和 $P B$ 所成角的大小为（）

A、 $90 °$ B、 $75 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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11. 已知奇函数 $f (x)$ 在R上是增函数， $g (x) = x f (x)$ .若 $a = g (- \log_{2} 5.1) ， b = g (2^{0.8}) ， c = g (3)$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别为棱 $C D ， C C_{1} ， A_{1} B_{1}$ 的中点，用过点 $E ， F ， G$ 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，与面 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 异面的棱有条．

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14. 已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为 $S_{1}$ ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为 $S_{2}$ ，则 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值为．

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15. 若函数 $y = \log_{a} (x^{2} - a x + 2)$ 在区间 $(- \infty ， 1]$ 上为减函数，则a的取值范围是.

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16. 若正三棱锥 $A - B C D$ 的侧棱长为8，底面边长为4， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ ， $A D$ 上的动点（如图），则截面 $△ B E F$ 的周长最小值为．

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三、解答题

17. 如图，S是圆锥的顶点， $A B$ 是圆锥底面圆 $O$ 的直径，点 $C$ 在圆锥底面圆 $O$ 上， $D$ 为 $B C$ 的中点．若 $△ S A B$ 为正三角形，且 $B C = 2 A C = 4$ ，设三棱锥 $S - A B C$ 的体积为 $V_{1}$ ，圆锥的体积为 $V_{2}$ ，求 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ ．

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18. 已知不等式 $\log_{2} (x + 1) \leq \log_{2} (7 - 2 x)$ .

(1)、求不等式的解集 $A$ ；

(2)、若当 $x \in A$ 时，不等式 ${(\frac{1}{4})}^{x - 1} - 4 {(\frac{1}{2})}^{x} + 2 \geq m$ 总成立，求 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，一个侧棱长为 $l$ 的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱 $A C$ ， $B C$ ， $B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ．

(1)、求证：平面 $D E F G //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、当底面 $A B C$ 水平放置时，求液面的高．

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20. 已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) + k x$ 与 $g (x) = \log_{4} (a \cdot 2^{x} - \frac{4}{3} a)$ ，其中 $f (x)$ 是偶函数．

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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21. 若函数 $y = f (x)$ 自变量的取值区间为 $[a ， b]$ 时，函数值的取值区间恰为 $[\frac{2}{b} ， \frac{2}{a}]$ ，就称区间 $[a ， b]$ 为 $y = f (x)$ 的一个“和谐区间”.已知函数 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $g (x) = - x + 3$ .

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内的“和谐区间”；

(3)、若以函数 $g (x)$ 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数 $y = h (x)$ 的图像，是否存在实数 $m$ ，使集合 ${(x ， y) | y = h (x)} \cap {(x ， y) | y = x^{2} + m}$ 恰含有 $2$ 个元素.若存在，求出实数 $m$ 的取值集合；若不存在，说明理由.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B P ⊥$ 平面PDC，四边形ABCD是一个直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D = A B = \frac{1}{2} B C$ .

(1)、求证：CD⊥平面PBD；

(2)、若 $A B = B P = P A$ ，且 $V_{P - A B C D} = 16 \sqrt{2}$ ，求三棱锥 $P - A B D$ 的侧面积.

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23. 如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形，侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 上的点，点 $M$ 是线段 $A C$ 上的动点， $E C = 2 F B = 2$ ．

(1)、当点 $M$ 在何位置时， $B M / /$ 平面 $A E F$ ？

(2)、若 $B M //$ 平面 $A E F$ ，判断 $B M$ 与 $E F$ 的位置关系，说明理由；并求 $B M$ 与 $E F$ 所成的角的余弦值．

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