河南省九师联盟2020-2021学年高一上学期数学1月联考试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | y = \sqrt{1 - x}} ， N = {y | y =$ $2^{x}} ，$ 则 $M \cap N =$ （）

A、 $[0 ， 1)$ B、 $[0 ， 1]$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 直线的 $x = 1$ 倾斜角为（）

A、 $90^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $45^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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3. 下列命题中正确的是（）

A、若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行 B、若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面 C、若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D、不共线的四点可以确定一个平面

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4. 已知函数 $f$ $(1 + \sqrt{x}) = 2^{x} ，$ 则 $f (\frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} 27)$ 的值为（）

A、8 B、16 C、1 D、4

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5. 函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， 3)$

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6. 如图，边长为1的正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是一个水平放置的平面图形 $O A B C$ 的直观图，则平面图形 $O A B C$ 以 $O A$ 为轴旋转一周所围成的几何体是（）

A、一个圆柱 B、一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体 C、一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体 D、两个同底的圆锥的组合体

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7. 已知 $a = {(\frac{1}{5})}^{\lg 1}$ ， $b = \log_{3} \sqrt{2 ，}$ $c = 3^{\ln 2 ，}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $α$ // $β$ ， $m \subset α ， n \subset β ，$ 则 $m$ // $n$ B、若 $α ⊥ β ， m \subset α ， n \subset β ，$ 则 $m ⊥ n$ C、若点 $A ， B$ 到 $α$ 平面的距离相等，则直线 $A B / / α$ D、若 $m ⊥ α ， m$ // $β ，$ 则 $α ⊥ β$

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9. 函数 $f (x) = (e^{x} - e^{- x}) \cdot | x |$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为 $2$ 的直角三角形，则该圆锥的体积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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11. 在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中，设 $O$ 和 $O_{1}$ 分别为下底面和上底面正六边形的中心， $G ， H$ 是线段 $A_{1}$ $D_{1}$ 上的动点，且 $G H = 1 (G H < A_{1} D_{1})$ 则下列说法中正确的是（）
① $D H$ 与 $A B$ 异面；②当 $G$ 为 $A_{1} O_{1}$ 中点时， $B G$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角取得最大值；③四面体 $B D G H$ 的体积是定值；④ $D B$ // $E F$ ．

A、①③④ B、①②④ C、①②③ D、②③④

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12. 当 $x \in (0, \frac{1}{2})$ 时，函数 $f (x) = \log_{a} (- 4 x^{2} + \log_{a} x)$ 的图象恒在 $x$ 轴下方，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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二、填空题

13. 设点 $A (- 2 ， 1) ， B (4 ， - 2) ， C (1 ， 1 + 2 a)$ ，若 $A ， B ， C$ 三点共线，则实数 $a$ 的值为．

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14. 某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 $4$ 和 $3$ 的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为．

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15. 函数 $f (x) = \frac{2021^{x} - 1}{2021^{x} + 1}$ 的值域为．

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16. 已知四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ，若四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为 $16 π$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值为．

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三、解答题

17. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4 ， E ， M$ 分别是 $B C ， B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} ， D ， M ， E$ 四点共面；

(2)、已知 $N$ 在棱 $C C_{1}$ 上，求四面体 $A_{1} - B M N$ 的体积．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + b x + c (b ， c \in R)$ 的图象过点 $(1 ， 0)$ ，且 $f (x - 1)$ 为偶函数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式﹔

(2)、若对任意的 $x \in [4 ， 16] ，$ 不等式 $f (\log_{4} x) \leq m \log_{4} x$ 恒成立，求 $m$ 的最小值．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， C D / / A B ，$ $C D = 2 A B ， ∠ A D C = 90 ° ， E ， F$ 分别为 $C D ， P C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B E F / /$ 平面 $P A D ；$

(2)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $P D C .$

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D ，$ $P D ⊥ C D ， P D = 2 C D ，$ 过直线 $A B$ 的平面与棱 $P C ， P D$ 分别交于点 $E ， F .$

(1)、求异面直线 $P C$ 与 $A B$ 所成角的正切值﹔

(2)、求证： $E F / / C D .$

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21. 某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然气公司在两个工业园区间 $A ， B$ 间修建天然气管道，已知两个工业园区相距 $120 km ，$ 并且在两工业园区之间设立供气站点 $D$ (如图)，为保证两个工业园区的安全，规定站点 $D$ 距两工业园区的距离均不得少于 $15 km .$ 已知工业园区 $A$ 一边有段 $10 km$ 长的旧管道 $A C ，$ 准备改造利用，改造费用为 $5$ 万元 $/ km ，$ 其余管道都要新建，新建的费用与站点 $D$ 到 $A ， B$ 两工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比，并且当站点 $D$ 距离工业园区 $A 40 km$ 时，新建的费用为 $1825$ 万元．设站点 $D$ 距工业园区 $A$ 为 $x km ， A ， B$ 为两工业园区之间天然气管道的修建总费用为 $y$ 万元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出其定义域；

(2)、如何规划站点 $D$ 的位置，才能使修建总费用最小？最小总费用是多少？

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22. 如图 $1$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B C ， A C = B C = 1 ，$ 现将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折起，得到三棱锥 $D^{'} - A B C$ (如图 $2$ )，且平面 $A D^{'} C ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $E$ 为棱 $D' C$ 的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $D' B C ；$

(2)、在 $∠ A C B$ 的角平分线上是否存在点 $F$ ，使得 $D^{'} F / /$ 平面 $A B E$ ？若存在，求 $D' F$ 的长；若不存在，请说明理由．

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