重庆市七校联盟2020-2021学年八年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在下列实数 $0.3030030003$ ， $\frac{2}{π}$ ， $0.12131313 ．．．$ ， $0. \dot{6} \dot{2} \dot{5}$ ， $3.1415926$ 中无理数的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 下列运算正确的是（）

A、a﹣（b+c）＝a﹣b+c B、2a²•3a³＝6a⁵ C、a²+a²＝2a⁴ D、（x﹣y）²＝x²﹣y²

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3. 如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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4. 定义：△ABC中，一个内角的度数为 $α$ ，另一个内角的度数为 $β$ ，若满足 $α + 2 β = 90 °$ ，则称这个三角形为“准直角三角形”.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=8，BC=6，D是BC上的一个动点，连接AD，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的长是（）

A、 $\frac{12}{7}$ B、 $\frac{24}{13}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{13}{5}$

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5. 某商店根据今年6--10 月份的销售额情况，剩作了如下统计图.根据图中信息，可以判断相邻两个月销售额变化最大的是（）

A、6月到7月 B、7月到8月 C、8月到9月 D、9月到10月

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 2 ∠ A D B$ ， $A B = 4 ， C D = 7$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、3 B、11 C、15 D、9

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7. 一个自然数的算术平方根为 $\sqrt{m}$ ，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（）

A、 $\pm \sqrt{m + 1}$ B、 $\pm \sqrt{m} + 1$ C、 $\pm \sqrt{m^{2} + 1}$ D、 $\pm \sqrt{m^{2}} + 1$

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8. 下列多项式中，不能进行因式分解的是（　　）

A、﹣a²+b² B、﹣a²﹣b² C、a³﹣3a²+2a D、a²﹣2ab+b²﹣1

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是 $E$ 、 $F$ ．给出下列四个结论：

① $A D$ 上任意一点到点 $C$ 、 $B$ 的距离相等；② $A D$ 上任意一点到 $A B$ 、 $A C$ 的距离相等；③ $B D = C D$ ， $A D ⊥ B C$ ；④ $∠ B D E = ∠ C D F$ ．其中正确的结论有（）．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8，则△ABC边AB上的高为（）

A、8 B、9.6 C、10 D、12

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11. 如图，在四边形ABCD中，AD=5，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为（）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{41}$ C、 $\sqrt{43}$ D、 $\sqrt{59}$

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12. 已知实数m，n，p，q满足 $m + n = p + q = 4$ ， $m p + n q = 4$ ，则 $(m^{2} + n^{2}) p q + m n (p^{2} + q^{2}) =$ （）

A、48 B、36 C、96 D、无法计算

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二、填空题

13. 若 $\sqrt{x - 8}$ + $\sqrt{y - 2}$ ＝0，则x+y＝.

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14.
某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是．

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15. 已知：关于x的二次三项式 $x^{2} - 8 x + k$ 是完全平方式，则常数k等于.

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16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．

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17. 如图，四边形ABCD中，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，点E是对角线BD上的一个动点，过点E分别作AB，BC，CD，AD的垂线，垂足分别为点F，H，I，G，连结FG和HI，则FG+HI的最小值为.

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18. 一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为.

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $[x y (x^{2} - x y) - x^{2} y (x - y)] • 3 x y^{2}$

(2)、 $9 {(x - 2)}^{2} - (3 x + 2) (3 x - 2)$

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20. 阅读下列学习材料并解决问题
定义：如果一个数 $i$ 的平方等于 $- 1 ，$ 记为 $i^{2} = - 1 ，$ 这个数 $i$ 叫做虚数单位.它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：

$(2 + i) + (3 - 4 i) = 5 - 3 i ，$

$(2 + i) - (3 - 4 i) = - 1 + 5 i$

$(2 + i) (3 - 4 i) = 6 - 8 i + 3 i - 4 i^{2} = 10 - 5 i$ .

(1)、问题：填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ .

(2)、计算： $① (2 + i) (2 - i)$ ； $② {(2 + i)}^{2}$ ；

(3)、试一试：请利用以前学习的有关知识将 $\frac{- i + 1}{3 - i}$ 化简成 $a + b i$ 的形式（即分母不含 $i$ 的形式）.

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21. 已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F.

(1)、若∠CAD=α，求：
①∠BCA的大小；

②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）

(2)、求证：AC=FC.

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22. 某校的20年校庆举办了四个项目的比赛，现分别以A，B，C，D表示它们．要求每位同学必须参加且限报一项．以701班为样本进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，其中参加A项目的人数比参加C与D项目人数的总和多1人，参加D项目的人数比参加A项目的人数少11人．请你结合图中所给出的信息解答下列问题：

(1)、求出全班总人数；

(2)、求出扇形统计图中参加D项目比赛的学生所在的扇形圆心角的度数；

(3)、若该校7年级学生共有200人，请你估计这次活动中参加A和B项目的学生共有多少人？

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23. 如果一个直角三角形的三边长分别为 $a - d$ ，a， $a + d$ ， $(a > d > 0)$ ，则称这个三角形为均匀直角三角形.

(1)、判定按照上述定义，下列长度的三条线段能组成均匀直角三角形的是（   ）
A.1，2，3；        $B .1$ ， $\sqrt{3}$ ，2；

$C .1$ ， $\sqrt{3}$ ，3；        $D .3$ ，4，5.

(2)、性质求证：任何均匀直角三角形的较小直角边与较大直角边的比是3：4.

(3)、应用如图，在一块均匀直角三角形纸板ABC中剪一个矩形，且矩形的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC，AC上，已知 $A B = 50 c m$ ， $B C > A C$ ， $∠ C = 90 °$ ，求剪出矩形面积的最大值.

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24.

(1)、如图①，已知： $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线m经过点A， $B D ⊥ m$ 于D， $C E ⊥ m$ 于E，求证： $D E = B D + C E$ ；

(2)、拓展：如图②，将（1）中的条件改为： $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，D、A、E三点都在直线m上，并且 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = α$ ， $α$ 为任意锐角或钝角，请问结论 $D E = B D + C E$ 是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)、应用：如图③，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 是钝角， $A B = A C$ ， $∠ B A D > ∠ C A E$ ， $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ ，直线m与BC的延长线交于点F，若 $B C = 2 C F$ ， $△ A B C$ 的面积是12，求 $△ A B D$ 与 $△ C E F$ 的面积之和.

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25. 材料一：一个正整数x能写成x=a²﹣b²（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a²+b²最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a²+b² ．
例如：24=7²﹣5² ， 24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=9²﹣7² ， 32=6²﹣2² ，因为9²+7²＞6²+2² ，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=9²+7²
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：

(1)、请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；

(2)、试证明10不是雪松数；

(3)、若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．

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