黑龙江省鹤岗市重点高中2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-22 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的）

1. 已知 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - 3} ， x \in R}$ ， $B = {y | y = x^{2} + 2 x - 1 ， x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2 ， - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， - \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， \sqrt{3}]$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{5 i}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{5}{2} i$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{2} i$ D、 $- \frac{5}{2}$

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3. 下列函数中，是偶函数且值域为 $[0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 1$ B、 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $f (x) = \log_{2} x$ D、 $f (x) = | x |$

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4. 函数 $f (x) = x + \sin x$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $P (2 ， 4)$ ，则 $f (3) =$ （）

A、2 B、3 C、8 D、9

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6. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为4的奇函数，若当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + a)$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x$ 的图象在 $x = \frac{1}{2}$ 处的切线与直线 $x + 2 y = 0$ 垂直。执行如图所示的程序框图，若输出的 $k$ 的值为 $15$ ，则判断框中 $t$ 的值可以为（）

A、 $\frac{13}{14}$ B、 $\frac{14}{15}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{16}{17}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty ， 0)$ ，均有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$
成立，若 $a = f (\sqrt{2}) ， b = f (3^{\frac{1}{3}}) ， c = f (e^{\frac{1}{3}})$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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9. 曲线 $y = x e^{- 2 x + 1}$ 在 $x = 1$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A、e B、 $\frac{e}{2}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，则不等式 $f (2 m) > f (m - 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (\frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - \frac{2}{3}) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， \frac{2}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3} ， 2)$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} ln (| x | + 1) ， x \leq 0 \\ \frac{x}{e^{x - 1}} ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f^{2} (x) + 2 m \cdot f (x) + m^{2} - 1 = 0$ 恰有4个不同的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- 1 ， \frac{2}{e^{2}})$ D、 $(- 2 ， \frac{4}{e^{2}})$

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12. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{/} (x)$ ，且满足 $(1 - x) f (x) + x f^{/} (x) > 0$ ，则关于 $x$ 不等式 $\frac{2 x - 1}{x + 2} f (2 x - 1) - e^{x - 3} f (x + 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 3 ）$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty ）$ C、 $(1 ， 3 ）$ D、 $(3 ， + \infty ）$

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二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - 3 y \geq 0 \\ x + y \leq 4 \\ y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2}$ 的最小值为.

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14. $\int_{-1}^{1} （ \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2} \sin x) d x =$

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15. 设有下列四个命题：
$p_{1}$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} - 1 \geq x$ ； $p_{2}$ ： $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} \leq x_{0} - 1$ ；

$p_{3}$ ：方程 $x^{2} - 2 a x - 3 = 0$ 有两个不相等实根； $p_{4}$ ：函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{\sin x}$ 的最小值是2．

则下述命题中所有真命题的序号是．

① $p_{1} \land p_{2}$ ；② $p_{1} \land \neg p_{4}$ ；③ $\neg p_{2} \lor p_{4}$ ；④ $\neg p_{3} \lor \neg p_{4}$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x}$ ， $x \in [1 ， 3]$ ，且 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [1 ， 3]$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 2$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，第17题，10分，其余小题，每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 化简并求值：

(1)、 $\sqrt[4]{（ π - \frac{13}{4} ）^{4}} + {(\frac{16}{49})}^{- \frac{1}{2}} + {(- 8)}^{\frac{2}{3}} + 8^{0.25} \times \sqrt[4]{2}$

(2)、 $\lg \frac{4}{5} + \lg 12.5 - \log_{8} 9 \cdot \log_{27} 8 + e^{- \ln 2}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x - 3$ ．

(1)、当 $a = 2$ ， $x \in [- 2 ， 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 3]$ 上的最大值为1，求实数 $a$ 的值．

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19. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 是单调函数，满足 $f (3) = 6$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，（ $x$ ， $y \in R$ ）．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (1)$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(3)、若对于任意 $x \in [\frac{1}{2} ， 3]$ ，都有 $f (k x^{2}) + f (2 x - 1) < 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $g (x) = \frac{4^{x} - a}{2^{x}}$ 是奇函数， $f (x) = \lg (10^{x} + 1) + b x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、设 $h (x) = f (x) + \frac{1}{2} x$ ，若存在 $x \in [0 ， 1]$ ，使不等式 $g (x) > h [\lg (10 a + 9)]$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + x \ln x + b$ 的图象在 $x = e$ （ $e$ 为自然对数的底数）处的切线方程为 $3 x - y - 3 e = 0$ ．

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、当 $x > 1$ 时， $\frac{f (x) + 2 e}{x - 1} > n (n \in N^{*})$ 恒成立，求 $n$ 的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + x^{2} - a x + a$ $(a \in R)$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{2} \geq 2 x_{1}$ ，求 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的最大值．

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