人教A版（2019）高中数学必修第一册指数函数与对数函数单元测试

试卷更新日期：2021-07-22 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（）

A、第3分时汽车的速度是40千米/时 B、第12分时汽车的速度是0千米/时 C、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时

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2. 函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过定点（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0)$

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3. 若 $0 < a < 1$ ， $\log_{a} (1 - x) < \log_{a} x$ ，则( ）

A、0<x<1 B、 $x < \frac{1}{2}$ C、 $0 < x < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2} < x < 1$

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4. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{\ln (x - 1)}$ 的定义域为（）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(1 ， 2) \cup (2 ， 3]$ D、 $(1 ， 2) \cup (2 ， 3)$

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5. $8^{\frac{2}{3}}$ =（　　）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 下列各函数中，值域为 $(0 ， + \infty)$ 的是（）

A、 $y = 2^{- \frac{x}{2}}$ B、 $y = \sqrt{1 - 2^{x}}$ C、 $y = x^{2} + x + 1$ D、 $y = 3^{\frac{1}{x + 1}}$

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7. 设a＞1，函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为 $\frac{1}{2}$ ，则a=（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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8. 设点集 $M =$ { $P | P$ 是指数函数与幂函数图象的公共点或对数函数与幂函数图象的公共点}下列选项中的点是集合 $M$ 的元素的为（）

A、 $(1 ， \frac{1}{2})$ B、 $(1 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- 2 ， - \frac{1}{4})$ D、 $(- 2 ， \frac{1}{4})$

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二、多选题

9. 下列运算结果中，一定正确的是 $($ $)$

A、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$ B、 ${(- a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 $\sqrt[8]{a^{8}} = a$ D、 $\sqrt[5]{{(- π)}^{5}} = - π$

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10. 若非零实数 $x$ ， $y$ 满足 $x > y$ ，则以下判断正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ B、 $x^{3} > y^{3}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{x} > {(\frac{1}{2})}^{y}$ D、 $\ln (x - y + 1) > 0$

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11. 下列命题正确的是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $\log_{2} x = - 1$ B、 $x = 1$ 是 $x^{2} = 1$ 的充分不必要条件 C、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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12. 关于函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 \cos π x ， 0 \leq x \leq 2 \\ - \log_{2} x + 2 ， x > 2 \end{array}$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 是周期为2的周期函数 B、 $f (2) = 2$ C、不等式 $f (x) > 1$ 的解集是 $[0 ， \frac{1}{3}) \cup (\frac{5}{3} ， 2]$ D、若存在实数 $a ， b ， c (a < b < c)$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $a + b + c + \frac{16}{c}$ 的取值范围是 $[10 ， 19)$

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三、填空题

13. ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - 4 \times {(- 3)}^{- 2} + {(\frac{1}{4})}^{0} - \log_{2} \frac{1}{8} =$ .

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14. 设函数 $y = \log_{a} x + 1 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，则该函数的图象恒过定点的坐标是.

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15. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2， $\sqrt{2}$ ），则f（x）= ．

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16. 设a=（ $\frac{7}{9}$ ） $^{- \frac{1}{4}}$ ，b=（ $\frac{9}{7}$ ） $^{\frac{1}{5}}$ ，c=log₂ $\frac{7}{9}$ ，则a，b，c的大小顺序是．

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四、解答题

17. 求值：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 2008)}^{0} - {(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 ${(\lg 5)}^{2} + \lg 2 \times \lg 50$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \log_{a} (2 - 2 x) + \log_{a} (x + 4)$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为2.求a的值.

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19. 若函数 $f (x) = (k + 3) a^{x} + 3 - b (a > 1)$ 是指数函数

(1)、求k，b的值；

(2)、求解不等式 $f (2 x - 7) > f (4 x - 3)$

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20. 已知函数 $f (x) = x \log_{2} x + (1 - x) \log_{2} (1 - x) ， x \in (0 ， 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若正实数a，b，c，d，满足 $a + b + c + d = 1$ ，求证： $a \log_{2} a + b \log_{2} b + c \log_{2} c + d \log_{2} d \geq - 2$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），设 $g (x) = f (2 + x) - f (2 - x)$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 的定义域；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(3)、求不等式 $g (x) > 0$ 的解集.

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22. 某自来水厂的蓄水池有 $400$ 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 $60$ 吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水， $t$ 小时内供水总量为 $120 \sqrt{6 t}$ 吨，其中 $0 \leq t \leq 24$ ．
（Ⅰ）从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？

（Ⅱ）若蓄水池中水量少于 $80$ 吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的 $24$ 小时内，大约有几小时出现供水紧张现象？

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