内蒙古鄂尔多斯2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 在实数 $0 ， π ， | - 2 | ， - 1$ 中，最小的数是（）

A、 $| - 2 |$ B、0 C、-1 D、 $π$

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2. 如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为 $0.00000012 m$ ，“0.00000012”用科学记数法可表示为（）

A、 $1.2 \times 10^{- 7}$ B、 $0.12 \times 10^{- 6}$ C、 $12 \times 10^{- 8}$ D、 $1.2 \times 10^{- 6}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = 2 a^{4}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 6 a + 9$ D、 ${(- 3 a^{3})}^{2} = 9 a^{6}$

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5. 一块含 $30 °$ 角的直角三角板和直尺如图放置，若 $∠ 1 = 146 ° 33^{'}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $64 ° 27^{'}$ B、 $63 ° 27^{'}$ C、 $64 ° 33^{'}$ D、 $63 ° 33^{'}$

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6. 小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（）

A、平均数是 $\frac{23}{4}$ B、众数是10 C、中位数是8.5 D、方差是 $\frac{25}{3}$

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7. 已知： $▱ A O C D$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $O A$ 于点M ，交 $O C$ 于点N ． ②分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A O C$ 内相交于点E ． ③画射线 $O E$ ，交 $A D$ 于点 $F (2 ， 3)$ ，则点A的坐标为（）

A、 $(- \frac{5}{4} ， 3)$ B、 $(3 - \sqrt{13} ， 3)$ C、 $(- \frac{4}{5} ， 3)$ D、 $(2 - \sqrt{13} ， 3)$

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8. 2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（）

A、 $\frac{1}{x} + 100 = \frac{6000}{x - 10}$ B、 $\frac{10000}{x} - 100 = \frac{6000}{x + 10}$ C、 $\frac{10000}{x} = \frac{6000}{x - 10} - 100$ D、 $\frac{10000}{x} - 100 = \frac{6000}{x - 10}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ，将边 $B C$ 沿 $C N$ 折叠，使点B落在 $A B$ 上的点 $B^{'}$ 处，再将边 $A C$ 沿 $C M$ 折叠，使点A落在 $C B^{'}$ 的延长线上的点 $A^{'}$ 处，两条折痕与斜边 $A B$ 分别交于点N、M ，则线段 $A^{'} M$ 的长为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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10. 如图①，在矩形 $A B C D$ 中，H为 $C D$ 边上的一点，点M从点A出发沿折线 $A H - H C - C B$ 运动到点B停止，点N从点A出发沿 $A B$ 运动到点B停止，它们的运动速度都是 $1cm/s$ ，若点M、N同时开始运动，设运动时间为 $t (s)$ ， $△ A M N$ 的面积为 $S ({cm}^{2})$ ，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）

①当 $0 < t \leq 6$ 时， $△ A M N$ 是等边三角形．②在运动过程中，使得 $△ A D M$ 为等腰三角形的点M一共有3个．③当 $0 < t \leq 6$ 时， $S = \frac{\sqrt{3}}{4} t^{2}$ ．④当 $t = 9 + \sqrt{3}$ 时， $△ A D H ∽ △ A B M$ ．⑤当 $9 < t < 9 + 3 \sqrt{3}$ 时， $S = - 3 t + 9 + 3 \sqrt{3}$ ．

A、①③④ B、①③⑤ C、①②④ D、③④⑤

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二、填空题

11. 函数 $y = \sqrt{4 - 2 x}$ 的自变量x的取值范围是.

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12. 计算： $\sqrt[3]{- 8} + {(2021 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} =$ ．

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13. 如图，小梅把一顶底面半径为 $10 cm$ 的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为 $120 °$ 的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 $cm$ ．

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14. 将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有个“〇”．

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15. 下列说法错误的是（只填序号）
① $7 - \sqrt{17}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\sqrt{17} - 4$ ．

②外角为 $60 °$ 且边长为2的正多边形的内切圆的半径为 $\sqrt{3}$ ．

③把直线 $y = 2 x - 3$ 向左平移1个单位后得到的直线解析式为 $y = 2 x - 2$ ．

④新定义运算： $m * n = m n^{2} - 2 n - 1$ ，则方程 $- 1 * x = 0$ 有两个不相等的实数根．

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16. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为6，点F是正方形内一点，连接 $C F ， D F$ ，且 $∠ A D F = ∠ D C F$ ，点E是 $A D$ 边上一动点，连接 $E B ， E F$ ，则 $E B + E F$ 长度的最小值为．

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三、解答题

17.

(1)、解不等式组 ${\begin{matrix} 4 x - 3 (x - 2) \geq 4 \\ \frac{x - 1}{5} > \frac{x + 1}{2} - 1 \end{matrix}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

(2)、先化简： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x - x^{2}} \div (2 x - \frac{4 + x^{2}}{x})$ ，再从 $- 2$ ，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．

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18. 某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A－动物园；B－七星湖；C－鄂尔多斯大草原；D－康镇；E－蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为 $90 °$ ，请根据图中信息解答下列问题．

(1)、求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中 $m =$ ，表示D的扇形的圆心角是度；

(3)、九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．

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19. 如图，矩形 $A B C D$ 的两边 $A B ， B C$ 的长分别为3，8，C ， D在y轴上，E是 $A D$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点E ，与 $B C$ 交于点F ，且 $C F - B E = 1$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、在y轴上找一点P ，使得 $S_{△ C E P} = \frac{2}{3} S_{矩形 A B C D}$ ，求此时点P的坐标．

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20. 图①是一种手机平板支架、由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图、托板长 $A B = 115 mm$ ，支撑板长 $C D = 70 mm$ ，板 $A B$ 固定在支撑板顶点C处，且 $C B = 35 mm$ ，托板 $A B$ 可绕点C转动，支撑板 $C D$ 可绕点D转动， $∠ C D E = 60 °$ ．

(1)、若 $∠ D C B = 70 °$ 时，求点A到直线 $D E$ 的距离（计算结果精确到个位）；

(2)、为了观看舒适，把（1）中 $∠ D C B = 70 °$ 调整为 $90 °$ ，再将 $C D$ 绕点D逆时针旋转，使点B落在直线 $D E$ 上即可、求 $C D$ 旋转的角度．
（参考数： $\sin 50 ° \approx 0.8$ ， $\cos 50 ° \approx 0.6$ ， $\tan 50 ° \approx 1.2$ ， $\sin 26.6 ° \approx 0.4$ ， $\cos 26.6 ° \approx 0.9$ ， $\tan 26.6 ° \approx 0.5$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D ， $B C$ 于点E ，直线 $E F ⊥ A C$ 于点F ，交 $A B$ 的延长线于点H ．

(1)、求证： $H F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当 $E B = 6 ， \cos ∠ A B E = \frac{1}{3}$ 时，求 $\tan H$ 的值．

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22. 鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．

(1)、求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？

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23. 如图，抛物线 $y = x^{2} + 2 x - 8$ 与x轴交于A ， B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C ．

(1)、求A ， B ， C三点的坐标；

(2)、连接 $A C$ ，直线 $x = m (- 4 < m < 0)$ 与该抛物线交于点E ，与 $A C$ 交于点D ，连接 $O D$ ．当 $O D ⊥ A C$ 时，求线段 $D E$ 的长；

(3)、点M在y轴上，点N在直线 $A C$ 上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

(1)、尝试解决：如图①，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，点M是 $B C$ 上的一点， $B M = 1 cm$ ， $C M = 2 cm$ ，将 $△ A B M$ 绕点A旋转后得到 $△ A C N$ ，连接 $M N$ ，则 $A M =$ $cm$ ．

(2)、类比探究：如图②，在“筝形”四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = a ， C B = C D ， A B ⊥ B C$ 于点B ， $A D ⊥ C D$ 于点D ，点P、Q分别是 $A B 、 A D$ 上的点，且 $∠ P C B + ∠ Q C D = ∠ P C Q$ ，求 $△ A P Q$ 的周长．（结果用a表示）

(3)、拓展应用：如图③，已知四边形 $A B C D$ ， $A D = C D ， ∠ A D C = 60 ° ， ∠ A B C = 75 ° ， A B = 2 \sqrt{2} ， B C = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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