内蒙古赤峰市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. -2021的相反数是（）

A、2021 B、-2021 C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 截至北京时间2021年1月3日6时，我国执行首次火星探测任务的“天问一号”火星探测器已经在轨飞行约163天，飞行里程突破4亿公里，距离地球接近1.3亿公里，距离火星约830万公里，数据8300000用科学记数法表示为（）

A、8.3×10⁵ B、8.3×10⁶ C、83×10⁵ D、0.83×10⁷

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3. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法正确的是（）

A、“清明时节雨纷纷”是必然事件 B、为了了解一批灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C、一组数据2，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 D、甲、乙两组队员身高数据的方差分别为 $S_{甲}^{2} = 0.02$ ， $S_{乙}^{2} = 0.01$ ，那么乙组队员的身高比较整齐

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $a - (b + c) = a - b + c$ B、 $a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}$ C、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 1$ D、 $2 a^{2} \cdot {(- 2 a b^{2})}^{2} = - 16 a^{4} b^{4}$

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6. 如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE．若∠ABC=30°，则∠D为（）

A、85° B、75° C、60° D、30°

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7. 实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果 $a + b = 0$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $| a | > | c |$ B、 $a + c < 0$ C、 $a b c < 0$ D、 $\frac{a}{b} = 1$

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8. 五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图(尚不完整)，下列结论错误的是（）

A、本次抽样调查的样本容量是5000 B、扇形统计图中的m为10% C、若五一期间观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的大约有20万人 D、样本中选择公共交通出行的有2400人

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9. 一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 2 = 0$ ，配方后可形为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 18$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 14$ C、 ${(x - 8)}^{2} = 64$ D、 ${(x - 4)}^{2} = 1$

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10. 如图，点C ， D在以AB为直径的半圆上， $∠ A D C = 120 °$ ，点E是 $\hat{A D}$ 上任意一点，连接BE ， CE ，则 $∠ B E C$ 的度数为（）

A、20° B、30° C、40° D、60°

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11. 点 $P (a ， b)$ 在函数 $y = 4 x + 3$ 的图象上，则代数式 $8 a - 2 b + 1$ 的值等于（）

A、5 B、-5 C、7 D、-6

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12. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

x

…

-1

0

1

2

3

…

y

…

3

0

-1

m

3

…

以下结论正确的是（）

A、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向下 B、当 $x < 3$ 时，y随x增大而增大 C、方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为0和2 D、当 $y > 0$ 时，x的取值范围是 $0 < x < 2$

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13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（）

A、 $27 π {cm}^{2}$ B、 $48 π {cm}^{2}$ C、 $96 π {cm}^{2}$ D、 $36 π {cm}^{2}$

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14. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离 $y$ (米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（）
①乙的速度为5米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 $44 < x < 89$ ；④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

15. 在函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{2 x - 1}$ 中，自变量x的取值范围是.

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16. 某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头 $C$ 处的高度 $C D$ 为 $238$ 米，点A ， D ， B在同一直线上，则通道AB的长度为米．(结果保留整数，参考数据 $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ )

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17. 如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为mm．

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18. 如图，正方形ABCD的边长为 $2 \sqrt{5}$ ，点E是BC的中点，连接CG并延长，交AB于点F ，连接AH ．以下结论：①CF⊥DE；② $\frac{C H}{H F} = \frac{2}{3}$ ；③ $G H = \frac{2}{3} \sqrt{5}$ ，④ $A D = A H$ ，其中正确结论的序号是．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{m - 3}{m - 2} \div (m + 2 - \frac{5}{m - 2})$ ，其中 $m = {(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(2 - π)}^{0} + \sqrt{8} - | - 7 |$ ．

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD ．

(1)、作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)、在（1）的条件下，连接DE ，证明 $A B ⊥ D E$ ．

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21. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t(单位，小时)，将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6<t<8、t≥8分为三类进行分析．

(1)、下列抽取方法具有代表性的是（）。

A、随机抽取一个班的学生 B、从12个班中，随机抽取50名学生 C、随机抽取50名男生 D、随机抽取50名女生

(2)、由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：

睡眠时间t(小时)	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.5
人数(人)	1	1	2	10	15	9	10	2

①这组数据的众数和中位数分别是 ▲ ， ▲ ；

②估计九年级学生平均每天睡眼时间 $t \geq 8$ 的人数大约为多少；

(3)、从样本中学生平均每天睡眠时间

t \leq 6

的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表法求抽取的2人每天睡眠时间都是6小时的概率．

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22. 为传承优秀传统文化，某地青少年活动中心计划分批次购进四大名著：《西游记》、《水浒传》、《三国演义》、《红楼梦》．第一次购进《西游记》50本，《水浒传》60本，共花费6600元，第二次购进《西游记》40本，《水浒传》30本，共花费4200元．

(1)、求《西游记》和《水浒传》每本的售价分别是多少元；

(2)、青少年活动中心决定再购买上述四种图书，总费用不超过32000元．如果《西游记》比《三国演义》每本售价多10元，《水浒传》比《红楼梦》每本售价少10元(四大名著各一本为一套)，那么这次最多购买《西游记》多少本？

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23. 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为 $(x_{1} ， y_{1})$ ，点N的坐标为 $(x_{2} ， y_{2})$ ，且x₁≠x₁ ， y₂≠y₂ ，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．

(1)、已知点A的坐标为 $(2 ， 0)$ ．
①若点B的坐标为 $(4 ， 4)$ ，则点A、B的“相关矩形”的周长为 ▲ ；

②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；

(2)、已知点P的坐标为 $(3 ， - 4)$ ，点Q的坐标为 $(6 ， - 2)$ ，若使函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．

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24. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M ， C ，交对角线BD于点E ，且 $\overset{⌢}{C E} = \overset{⌢}{B E}$ ，连接OE交BC于点F ．

(1)、试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $B D = \frac{32}{5} \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ C B D = \frac{1}{2}$ ，求⊙O的半径．

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25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $(- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 两点，对称轴l与x轴交于点F ，直线m $//$ AC ，过点E作EH⊥m ，垂足为H ，连接AE、EC、CH、AH ．

(1)、抛物线的解析式为；

(2)、当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；

(3)、在（2）的条件下，连接EF ，点P在x轴上，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

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26. 数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 $△ A B C$ 中，AB=AC=m ， $∠ B A C = α (0 ° < α < 180 °)$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a ，得线段PD ，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和 $β$ 的度数 $\frac{E F}{A P}$ ，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)、填空：
（问题发现）

小明研究了 $α = 60 °$ 时，如图1，求出了 $\frac{E F}{P A} =$ ， $β =$ ；

小红研究了 $α = 90 °$ 时，如图2，求出了 $\frac{E F}{P A} =$ ， $β =$ ；

（类比探究）

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\frac{E F}{P A}$ ；

（归纳总结）

最后他们终于共同探究得出规律： $\frac{E F}{P A} =$ (用含m、n的式子表示)； $β =$ (用含α的式子表示)．

(2)、求出 $α = 120 °$ 时 $\frac{E F}{P A}$ 的值和 $β$ 的度数．

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x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	3	0	-1	m	3	…