辽宁省大连市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. －5的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、5 D、-5

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2. 某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年党中央首次颁发“光荣在党50年”纪念章，约7100000名党员获此纪念章数7100000用科学记数法表示为（）

A、 $71 \times 10^{5}$ B、 $7.1 \times 10^{5}$ C、 $7.1 \times 10^{6}$ D、 $0.71 \times 10^{7}$

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4. 如图， $A B // C D$ ， $C E ⊥ A D$ ，垂足为E ，若 $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、40° B、50° C、60° D、90°

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5. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{8}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 ${(- 3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ D、 $2 a b^{2} + 3 a b^{2} = 5 a^{2} b^{4}$

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6. 某校健美操队共有10名队员，统计队员的年龄情况，结果如下：13岁3人，14岁5人，15岁2人该健美操队队员的平均年龄为（）

A、14.2岁 B、14.1岁 C、13.9岁 D、13.7岁

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7. 下列计算正确的是（）

A、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = - 3$ B、 $\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt[3]{-} 1 = 1$ D、 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 3$

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8. “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤．若设平均亩产量的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程为（）

A、 $500 (1 + x) = 800$ B、 $500 (1 + 2 x) = 800$ C、 $500 (1 + x^{2}) = 800$ D、 $500 {(1 + x)}^{2} = 800$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = α$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转90°得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，点B的对应点 $B^{'}$ 在边 $A C$ 上（不与点A ， C重合），则 $∠ A A^{'} B^{'}$ 的度数为（）

A、 $α$ B、 $α - 45 °$ C、 $45 ° - α$ D、 $90 ° - α$

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10. 下列说法正确的是（）
①反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 中自变量x的取值范围是 $x \neq 0$ ；②点 $P (- 3 ， 2)$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 的图象上；③反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

11. 不等式 $3 x < x + 6$ 的解集是．

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12. 在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为．

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13. 一个不透明的口袋中有两个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2．随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，两次取出的小球标号的和等于4的概率为．

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14. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为．

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15. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ，点E在边 $B C$ 上，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折180°，得到 $△ A B' E$ ，点B的对应点是点 $B^{'}$ 若 $A B^{'} ⊥ B D$ ， $B E = 2$ ，则 $B B^{'}$ 的长是．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点E在边BC上，点F在边 $A D$ 的延长线上 $A F = E F$ ，设 $B E = x$ ， $A F = y$ ，当 $0 < x < 2$ 时，y关于x的函数解析式为．

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三、解答题

17. 计算： $\frac{a + 3}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} + 3 a}{a^{2} + 6 a + 9} - \frac{3}{a - 3}$ ．

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18. 某校计划举办以“庆祝建党百年，传承红色基因”为主题的系列活动，活氛围红歌演唱、诗歌朗诵、爱国征文及党史知识竞赛，要求每名学生都参加活动且只能选择一项活动为了解学生参加活动的情况，随机选取该学校部分学生进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

活动项目	频数（人）	频率
红歌演唱	10	0.2
诗歌朗诵
爱国征文
党史知识竞赛		0.1

据以上信息，回答下列问题：

(1)、被调查的学生中，参加红歌演唱活动的学生人数为人，参加爱国征文活动的学生人数占被调查学生总人数的百分比为%；

(2)、本次调查的样本容量为，样本中参加党史知识竞赛活动的学生人数为人；

(3)、若该校共有800名学生，请根据调查结果，估计参加诗歌朗诵活动的学生人数．

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19. 如图，点A ， D ， B ， E在一条直线上 $A D = B E$ ， $A C = D F$ ， $A C // D F$ ．
求证： $B C = E F$ ．

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20. 某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元．

(1)、求大、小两种垃圾桶的单价；

(2)、该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？

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21. 如图，建筑物 $B C$ 上有一旗杆 $A B$ ，从与 $B C$ 相距 $20 m$ 的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆 $A B$ 的高度．（结果取整数）
（参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.766$ ， $\cos 50 ° \approx 0.643$ ， $\tan 50 ° \approx 1.192$ ； $\sin 57 ° \approx 0.839$ ， $\cos 57 ° \approx 0.545$ ， $\tan 57 ° \approx 1.540$ ）

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22. 如图1， $△ A B C$ 内接于⊙O ，直线 $M N$ 与⊙O相切于点D ， $O D$ 与 $B C$ 相交于点E ， $B C // M N$ ．

(1)、求证： $∠ B A C = ∠ D O C$ ；

(2)、如图2，若 $A C$ 是⊙O的直径，E是 $O D$ 的中点，⊙O的半径为4，求 $A E$ 的长．

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23. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中 $50 \leq x \leq 80$ ，

(1)、求y关于x的函数解析式；

(2)、若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿 $B A - A C$ 的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿 $B C - C D$ 运动，设运动时间为t秒．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、若 $S_{△ B P Q} = S$ ，求S关于t的解析式．

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25. 已知 $A B = B D$ ， $A E = E F$ ， $∠ A B D = ∠ A E F$ ．

(1)、找出与 $∠ D B F$ 相等的角并证明；

(2)、求证： $∠ B F D = ∠ A F B$ ；

(3)、 $A F = k D F$ ， $∠ E D F + ∠ M D F = 180 °$ ，求 $\frac{A E}{M F}$ ．

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26. 已知函数 $y = {\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + m (x < m) \\ x^{2} - m x + m (x \geq m) \end{array}$ ，记该函数图象为G．

(1)、当 $m = 2$ 时，
①已知 $M (4 ， n)$ 在该函数图象上，求n的值；

②当 $0 \leq x \leq 2$ 时，求函数G的最大值；

(2)、当 $m > 0$ 时，作直线 $x = \frac{1}{2} m$ 与x轴交于点P ，与函数G交于点Q ，若 $∠ P O Q = 45 °$ 时，求m的值；

(3)、当 $m \leq 3$ 时，设图像与x轴交于点A ，与y轴交与点B ，过B做 $B C ⊥ B A$ 交直线 $x = m$ 与点C ，设点A的横坐标为a ， C点的纵坐标为c ，若 $a = - 3 c$ ，求m的值．

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