吉林省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-20 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 化简 $- (- 1)$ 的结果为（）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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2. 据《吉林日报》2021年5月14日报道，第一季度一汽集团销售整车70060辆，数据70060用科学记数法表示为（）

A、 $7.006 \times 10^{3}$ B、 $7.006 \times 10^{4}$ C、 $70.06 \times 10^{3}$ D、 $0.7006 \times 10^{4}$

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3. 不等式 $2 x - 1 > 3$ 的解集是（）

A、 $x > 1$ B、 $x > 2$ C、 $x < 1$ D、 $x < 2$

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4. 如图，粮仓可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 为边 $A D$ 上任意一点（点 $P$ 不与点 $A$ ， $D$ 重合）连接 $C P$ ．若 $∠ B = 120 °$ ，则 $∠ A P C$ 的度数可能为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $65 °$

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6. 古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，若设这个数是 $x$ ，则所列方程为（）

A、 $\frac{2}{3} x + \frac{1}{7} x + x = 33$ B、 $\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{7} x = 33$ C、 $\frac{2}{3} x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{7} x + x = 33$ D、 $x + \frac{2}{3} x + \frac{1}{7} x - \frac{1}{2} x = 33$

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二、填空题

7. 计算： $\sqrt{9}$ -1＝．

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8. 因式分解： $m^{2} - 2 m =$ ．

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9. 计算： $\frac{2 x}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} =$ ．

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 3 x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $c$ 的值为．

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11. 如图，已知线段 $A B = 2 cm$ ，其垂直平分线 $C D$ 的作法如下：①分别以点 $A$ 和点 $B$ 为圆心， $b cm$ 长为半径画弧，两弧相交于 $C$ ， $D$ 两点；②作直线 $C D$ ．上述作法中 $b$ 满足的条作为 $b$ 1.（填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，连接 $A B$ ，若将 $△ A B O$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A' B O'$ ，则点 $A'$ 的坐标为．

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13. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 $4.5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出竿上 $A D$ 长为 $1 m$ 时，它离地面的高度 $D E$ 为 $0.6 m$ ，则坝高 $C F$ 为 $m$ ．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ．以点 $C$ 为圆心， $C B$ 长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $D$ ， $E$ ，则图中阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1)$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

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16. 第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．

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17. 如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O ， AB＝AC ， ∠B＝∠C.求证：AD＝AE

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18. 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共 $55 km$ ．其中桥梁长度比隧道长度的9倍少 $4 km$ ．求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．

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19. 图①、图2均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点 $A$ ，点 $B$ 均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)、在图①中，以点 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点画一个等腰三角形；

(2)、在图②中，以点 $A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 为顶点画一个面积为3的平行四边形．

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20. 2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．

2016﹣2017年快递业务量增长速度统计表

年龄

2016

2017

2018

2019

2020

增长速度

51.4%

28.0%

26.6%

25.3%

31.2%

说明：增长速度计算办法为：增长速度=（本年业务量-去年业务量）÷去年业务量×100%．

根据图中信息，解答下列问题：

(1)、2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是亿件．

(2)、2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是．

(3)、下列推断合理的是（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量应低于2020年的快递业务量；

②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递业务量应在 $833.6 \times (1 + 25 %) = 1042$ 亿件以上．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = \frac{4}{3} x - 2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点 $B (m ， 2)$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 $44 °$ ，求北纬 $44 °$ 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
⑴在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

⑵如图， $⊙ O$ 是经过南、北极的圆，地球半径 $O A$ 约为 $6400 km$ ．弦 $B C / / O A$ ，过点 $O$ 作 $O K ⊥ B C$ 于点 $K$ ，连接 $O B$ ．若 $∠ A O B = 44 °$ ，则以 $B K$ 为半径的圆的周长是北纬 $44 °$ 纬线的长度；

⑶参考数据： $π$ 取3， $\sin 44 ° = 0.69$ ， $\cos 44 ° = 0.72$ ．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为 $B C / / O A$ ， $∠ A O B = 44 °$ ，

所以 $∠ B = ∠ A O B = 44 °$ （        ）（填推理依据），

因为 $O K ⊥ B C$ ，所以 $∠ B K O = 90 °$ ，

在 $R t △ B O K$ 中， $O B = O A = 6400$ ．

$B K = O B \times$       ▲      （填“ $\sin B$ ”或“ $\cos B$ ”）．

所以北纬 $44 °$ 的纬线长 $C = 2 π \cdot B K$

$= 2 \times 3 \times 6400 \times$ ▲   （填相应的三角形函数值）

$\approx$    ▲   （ $km$ ）（结果取整数）．

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23. 疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过 $a$ 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数 $y$ （万人）与各自接种时间 $x$ （天）之间的关系如图所示．

(1)、直接写出乙地每天接种的人数及 $a$ 的值；

(2)、当甲地接种速度放缓后，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．

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24. 如图①，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，点 $E$ 为射线 $B C$ 上一点，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

(1)、若 $A B = a$ ．直接写出 $C D$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

(2)、若 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $G$ ，点 $F$ 与点 $D$ 在直线 $C E$ 的异侧，连接 $C F$ ，如图②，判断四边形 $A D F C$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $D F ⊥ A B$ ，直接写出 $∠ B D E$ 的度数．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 cm$ ， $A D = \sqrt{3} cm$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发沿折线 $A B - B C$ 向终点 $C$ 运动，在边 $A B$ 上以 $1 cm/s$ 的速度运动；在边 $B C$ 上以 $\sqrt{3} cm/s$ 的速度运动，过点 $P$ 作线段 $P Q$ 与射线 $D C$ 相交于点 $Q$ ，且 $∠ P Q D = 60 °$ ，连接 $P D$ ， $B D$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $△ D P Q$ 与 $△ D B C$ 重合部分图形的面积为 $y ({cm}^{2})$ ．

(1)、当点 $P$ 与点 $A$ 重合时，直接写出 $D Q$ 的长；

(2)、当点 $P$ 在边 $B C$ 上运动时，直接写出 $B P$ 的长（用含 $x$ 的代数式表示）；

(3)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， - \frac{7}{4})$ ，点 $B (1 ， \frac{1}{4})$ ．

(1)、求此二次函数的解析式；

(2)、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值和最小值；

(3)、点 $P$ 为此函数图象上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $P Q / / x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- 2 m + 1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．
①求 $m$ 的取值范围；

②当 $P Q \leq 7$ 时，直接写出线段 $P Q$ 与二次函数 $y = x^{2} + b x + c (- 2 \leq x < \frac{1}{3})$ 的图象交点个数及对应的 $m$ 的取值范围．

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年龄	2016	2017	2018	2019	2020
增长速度	51.4%	28.0%	26.6%	25.3%	31.2%