山东省济南市历下区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-07-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四个图分别是山东航空、重庆航空、海南航空和春秋航空公司的标志，其中属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a > b$ ，则下列式子正确的是（）

A、 $- 2 a > - 2 b$ B、 $\frac{1}{3} a < \frac{1}{3} b$ C、 $a - 4 > b - 4$ D、 $5 - a > 5 - b$

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3. 下列分式中，是最简分式的是（）

A、 $\frac{2}{x + 2}$ B、 $\frac{3 x y}{x^{2}}$ C、 $\frac{4}{2 x - 6}$ D、 $\frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}$

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4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 ， 1)$ ， $B (3 ， - 1)$ ，平移线段 $A B$ ，使点 $B$ 落在点 $B_{1} (- 1 ， - 2)$ 处，则点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标为（）

A、（0，0） B、（0，－2） C、（－2，0） D、（－3，1）

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5. 方程 $x^{2} - 5 x + a = 0$ 的一个根是 $x = 2$ ，则a的值是（）

A、6 B、－6 C、8 D、14

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6. 下列说法判断错误的是（）

A、对角线相互平分的四边形是平行四边形 B、对角线相等的四边形是矩形 C、对角线相互垂直平分的四边形是菱形 D、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形

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7. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的内角和是（）

A、720° B、900° C、1080° D、1260°

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8. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 是 $B C$ 边的中点，若 $△ A D C$ 的周长为16，则 $△ C O E$ 的周长是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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9. 如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为(　　)

A、3cm B、3 $\sqrt{3}$ cm C、2cm D、2 $\sqrt{3}$ cm

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10. 若关于x的一元二次方程x²﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）

A、2021 B、2 C、1 D、0

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11. 如图，已知直线y₁＝x+m与y₂＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，矩形 $O A B C$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ， $A C = 4$ ， $B O$ 与 $x$ 轴负半轴的夹角为60°，若矩形绕点 $O$ 顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2021秒时，矩形的对角线交点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， \sqrt{3})$ B、 $(- 1 ， - \sqrt{3})$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(1 ， \sqrt{3})$

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二、填空题

13. 因式分解： $4 a^{2} - 1 =$ ．

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14. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ， $A D = 5$ ， $B E = 2$ ，则 $A B C D$ 的周长是.

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15. 方程 $\frac{2}{x - 4} - \frac{1 - x}{4 - x} = 0$ 的解是．

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16. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 5$ ， $A C = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的面积为．

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17. 若 $α, β$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的两个实数根，则 $α + β$ 的值是.

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18. 如图， $P$ 为边长为2的正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上任一点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．给出以下4个结论：① $A P = E F$ ；② $A P ⊥ E F$ ；③ $E F$ 最短长度为 $\sqrt{2}$ ；④若 $∠ B A P = 30 °$ 时，则 $E F$ 的长度为2．其中结论正确的有.

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19. 已知点D与点A（0，6）、B（0，﹣4）、C（x ， y）是平行四边形的四个顶点，其中x、y满3x﹣4y+12＝0，则CD的最小值为．

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三、解答题

20. 解不等式组： ${\begin{matrix} x + 3 (x - 2) \geq 2 \\ \frac{1 + 2 x}{3} > x - 1 \end{matrix}$

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21. 化简： $(1 + \frac{3}{a - 2}) \div \frac{a + 1}{a^{2} - 4}$ ．

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22. 已知：如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $O A$ 和 $O C$ 的中点 $D C$ ．求证： $D E = B F$ ．

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23.

(1)、因式分解： $x^{3} y - 6 x^{2} y + 9 x y$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ ．

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24. 某市为促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口360千米的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2小时，求汽车原来的平均速度.

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25. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条角平分线， $A N$ 是 $△ A B C$ 外角 $∠ C A M$ 的平分线， $C E ⊥ A N$ ，垂足为 $E$ ．连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、试判断四边形 $A D C E$ 的形状，并说明理由；

(2)、试判断 $D F$ 与 $A B$ 的关系，并说明理由．

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26. 开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．

(1)、求平均每次下调的百分率；

(2)、房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

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27. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = 18 cm$ ， $C D = 28 cm$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1 cm/s$ 的速度向点 $B$ 运动，同时动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $3 cm/s$ 的速度向点 $D$ 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当四边形 $P B C Q$ 是平行四边形时，求t的值；

(2)、当 $t =$ 时，四边形 $A P Q D$ 是矩形；若 $A D = 16 cm$ 且点 $Q$ 的移动速度不变，要使四边形 $A P Q D$ 能够成为正方形，则 $P$ 点移动速度是 $cm/s$ ；

(3)、在点 $P$ 、 $Q$ 运动过程中，若四边形 $P B Q D$ 能够成为菱形，求 $A D$ 的长度．

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28. （操作发现）

(1)、如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将 $A B C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转90°，点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，点 $C$ 的对应点为 $C^{″}$ ；

②连接 $B B^{'}$ ，此时 $∠ A B B^{'} =$ °；

(2)、（问题解决）
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

如图2，在等边 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在内部，且 $P A = 3$ ， $P C = 4$ ， $∠ A P C = 150 °$ ，求 $P B$ 的长．

经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将 $△ A P C$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转60°，得到 $△ A B P^{'}$ ，连接 $P P^{'}$ ，寻找 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；

(3)、（学以致用）
如图3，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $P A = 5$ ， $P C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B P C = 135 °$ ，求 $P B$ ；

(4)、（思维拓展）
注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．

①等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内部一点，若 $B C = 4$ ，则 $A P + B P + C P$ 的最小值＝ ▲

②如图4，若点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 外一点， $P A = 3$ ， $P B = \sqrt{3}$ ， $P C = \sqrt{15}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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29. 若方程（x﹣1）（x²﹣2x+m）=0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则m的取值范围：．

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30. 已知：如图，正方形 $A B C D$ ， $B M$ 、 $D N$ 分别平分正方形的两个外角，且满足 $∠ M A N = 45 °$ ，连接 $M N$ ．若以 $B M$ ， $D N$ ， $M N$ 为三边围成三角形，试猜想该三角形的形状，并证明你的结论．

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