初中数学华师大版八年级上学期第12章12.5因式分解同步练习

试卷更新日期：2021-07-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 对多项式3x²﹣3x因式分解，提取的公因式为（）

A、3 B、x C、3x D、3x²

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2. 下列式子直接能用完全平方公式进行因式分解的是（）

A、 $16 a^{2} + 8 a + 1$ B、 $a^{2} - 3 a + 9$ C、 $4 a^{2} + 4 a - 1$ D、 $a^{2} - 8 a - 16$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a - \frac{1}{2})}^{2} = a^{2} - \frac{1}{4}$ B、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$ C、 $- 2 (3 a + 1) = - 6 a - 1$ D、 $(a + b) (a - 2 b) = a^{2} - 2 b^{2}$

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4. 如果二次三项式 $x^{2} + 4 x + p$ 能在实数范围内分解因式，那么 $p$ 的取值范围是（）

A、 $p > 4$ B、 $p < 4$ C、 $p \geq 4$ D、 $p \leq 4$

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5. 对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0$ 这类特殊的三次方程可以这样来解.先将方程的左边分解因式： $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x (x^{2} - n^{2}) - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1)$ ，这样原方程就可变为 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0$ ，即有 $x - n = 0$ 或 $x^{2} + n x - 1 = 0$ ，因此，方程 $x - n = 0$ 和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是原方程的解.据此，显然 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 有一个解为 $x_{1} = 2$ ，设它的另两个解为 $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则式子 $x_{2} x_{3} - x_{2} - x_{3}$ 的值（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、7

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6. 已知 $M = a^{2} + 4 b^{2} ， N = 4 a b$ （ $a ， b$ 为任意有理数），则M与N的大小关系是（）

A、M>N B、M<N C、M ≥N D、M ≤ N

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7. 对于①x-3xy=x(1-3y) ，②(x+3)(x-1)=x²+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）

A、都是因式分解 B、①是因式分解，②是乘法运算 C、都是乘法运算 D、①是乘法运算，②是因式分解

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8. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）= $\frac{p}{q}$ .例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）= $\frac{3}{4}$ .如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）= $\frac{3}{4}$ ；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为 $\frac{3}{4}$ . （）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．

欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ，连结AC，记△ABC的面积为 $S_{1}$ ，图中阴影部分的面积为 $S_{2}$ ．若 $a = 3 b$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{7}{18}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题

10. 分解因式： $5 x^{4} - 5 x^{2} =$ .

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11. 已知 $x y = 2 ， x - 3 y = 3$ ，则 $2 x^{3} y - 12 x^{2} y^{2} + 18 x y^{3} =$ .

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12. 已知 $m, n, p$ 为实数，若 $x - 1, x + 4$ 均为多项式 $x^{3} + m x^{2} + n x + p$ 的因式，则 $2 m - 2 n - p + 86 =$ .

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13. 甲乙两个同学分解因式x²+ax+b时，甲看错了b ，分解结果为（x+2）（x+4），乙看错了a ，分解结果为（x+1）（x+9），则2a+b＝．

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14. 观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x²−1

(x−1)(x²+x+1)=x³−1

(x−1)(x³+x²+x+1)=x $^{4}$ −1…

根据以上规律，求1+2+2²+…+ $2^{2016} + 2^{2017} =$ .

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三、计算题

15.

(1)、计算： $1^{2021} - \sqrt[3]{8} + {(π - 3.14)}^{0} - {(- \frac{1}{5})}^{- 1}$ ．

(2)、分解因式： $4 {(x - 2 y)}^{2} - 16 y^{2}$ ．

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16. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x^{2} - 3 x} \div \frac{x^{2} - 9}{2 x}$ ，其中 $x = \frac{1}{3}$ ．

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四、综合题

17. 材料阅读：若一个整数能表示成a²+b²（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13=3²+2² ，所以13是“完美数”；再如：因为a²+2ab+2b²=（a+b）²+b²（a、b是正整数），所以a²+2ab+2b²也是“完美数”．

(1)、解决问题：
请你写出一个大于20小于30 的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；

(2)、探究问题：
①已知x²+y²-2x+4y+5＝0，求x+y的值．

②已知S＝x²+4y²+4x-12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

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18. 实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.
实验过程：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.

探索问题：

(1)、小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片张，长方形纸片张；

(2)、选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；

(3)、试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内.

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