浙江省2021届高三数学高考考前模拟试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < x < m} ， B = {x | x > - 1}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 ${x | 1 < x}$ B、 ${x | - 1 < x < m}$ C、 ${x | 1 < x < m}$ D、 ${x | x > m}$

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2. 已知 $m \in R$ ，若 $\frac{m i + 1}{i}$ 是纯虚数，则m的值为（）

A、0 B、-1 C、1 D、2

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3. 若x与y满足 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则该轨迹上的任意一点可表示为（）

A、 $（ sin β ， cos β ）$ B、 $（ \sqrt{2} sin β ， \sqrt{2} cos β ）$ C、 $（ 2 sin β ， 2 cos β ）$ D、 $（ 4 sin β ， 4 cos β ）$

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4. 函数y= $\frac{e^{x} sin x}{tan x}$ 在[-2，2]上的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足公比0＜q＜1， $b_{1}$ ＜0，则下列说法不正确的是（）

A、 $S_{n}$ 一定单调递减 B、 $b_{n}$ 一定单调递增 C、式子 $b_{n}$ - $S_{n}$ ≥0恒成立 D、可能满足 $b_{k}$ = $S_{k}$ ，且k≠1

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7. 已知双曲线方程： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0），A点为双曲线的左焦点，M点为双曲线的右顶点，N点的坐标为（0，-b），P为双曲线左支上的移动点，连接AN，MN，MP，AP，若ANMP为平行四边形，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $2 \sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{8}{3}$

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8. 设x，y＞1，z＞0，z为x与y的等比中项，则 $\frac{lg z}{2 lg x} + \frac{lg z}{4 lg y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $2 \sqrt{2} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{4}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知非负函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，若对于定义域内的任意 $x$ ，均满足 $f^{'} (x) > \frac{f (x)}{x}$ ，则下列式子中不一定正确的是（）

A、 $f (2) > 2 f (1)$ B、 $f (3) > e \cdot f (2)$ C、 $f (4) > \frac{7}{6} f (3)$ D、 $f (e) > 2 e \cdot f (\frac{1}{2})$

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10. 若实数 $a ， b$ 满足 $\ln (2 a) - \ln (b) \geq a^{2} + \frac{1}{b^{2}} - 1$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

11. 已知数列{ $a_{n}$ }满足 $a_{n} - a_{n - 1} = k$ （n∈ $N^{*}$ ）， $a_{1} = k$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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12. 对于数字1，2，3，4，5，6，现组成一个四位数，该四位数满足四个位置的数字均不相同，且满足奇数偶数相并分布（即假设千位数是奇数，则百位数是偶数，十位数是奇数，个位数是偶数，同理千位数是偶数，则百位数是奇数，以此类推），则能组成上述要求的四位数的个数为．

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13. 已知函数f(x)= $e^{x} + \ln x$ ，g(x)= $4 x + \frac{1}{x}$ ，且 $x$ 满足 $1 \leq x \leq 2$ ，则g(x)-f(x)的最大值为．

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14. 二项展开式 $（ 2 x + 4 ）^{5}$ = $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{1}$ =； $a_{0} + a_{2} + a_{4}$ =（可以采用指数的形式或数字的方式作答）．

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15. 已知 $sin (2 α + \frac{π}{4})$ = $\frac{1}{2}$ ，且 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin 2 α$ ； $cos (4 α - \frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{2} sin 4 α =$ ．

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16. 已知单位向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，满足 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为；若向量 $\vec{c}$ 满足 $ω \vec{a} + (2 - ω) \vec{b} = \vec{c} （ ω \in [0 ， 2] ）$ ，则 $| \vec{c} |$ 的取值范围是．

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17. 如图所示， $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 是椭圆方程： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ ，记直线PA的斜率为 $k_{1} ．$ 当P在左端点时，△ $P F_{1} F_{2}$ 是等边三角形．若△ $P F_{1} F_{2}$ 是等边三角形，则 $k_{1}$ =；记直线PB的斜率为 $k_{2}$ ，则 $| k_{1} | + | k_{2} |$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为： $tan A + tan B + tan C = \frac{\sqrt{3}}{3} tan A tan B ．$

(1)、求∠C的的大小；

(2)、若c=2，求 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围

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19. 如图所示的几何体，其中底面ABCD是以CD为高的直角梯形，∠ADC=90°，AD=CD=1，BC=2，SA⊥底面ABCD，连接SC，SB，SD．

(1)、求二面角B-SA-D的角度

(2)、若SA=a，求面SAB与面SDC所成角的余弦值与a的关系，并求出余弦值的取值范围

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20. 已知数列{ $b_{n}$ }满足 $b_{1} = 3$ ， $b_{2} = 7$ 且 $b_{n}$ = $a_{n} + c_{n}$ ，n∈ $N^{*}$ （ $a_{n}$ 是等比数列， $c_{n}$ 是等差数列），记数列{ $a_{n}$ }的前n项和为 $S_{n}$ ，{ $c_{n}$ }的前n项和为 $T_{n}$ ，若公比数q等于公差数d，且 $\frac{3}{4} a_{2} = c_{2} ．$

(1)、求数列{ $b_{n}$ }的通项公式；

(2)、记 $R_{n}$ 为数列{ $b_{n}$ }的前n项和，求 $\frac{R_{n}}{n^{2} - 2}$ （n≥2，且n∈ $N^{*}$ ）的最小值．

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21. 如图所示，已知抛物线： $y^{2} = 2 p x （ p > 0 ）$ ，F是抛物线的焦点，过F点作直线AB交抛物线于A，B两点，记A点的坐标为（ $x_{1} ， y_{1}$ ），B点的坐标为（ $x_{2} ， y_{2}$ ），且存在某一情况满足 $y_{A}$ =| $y_{B}$ |=2．

(1)、当 $y_{1}$ =| $y_{2}$ |=2，求AB直线的方程及p的值；

(2)、设点P的坐标为（0，t），且|AF|＜|BF|，点C（不在原点上）在抛物线上，PC不平行于x轴，且PC恰好与抛物线相切．若CA，CB分别与x轴相交于D，E，设△ADF，△BEF和△ABC的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，求 $\frac{S_{1} \cdot S_{2}}{S_{3}^{2}}$ 的最大值

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + e^{x} + b$ （ $a > 0$ ），其中 $e = 2.71828...$ 是自然对数的底数．

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $t (x) = f (x) - b - e^{x} + \ln x$ ，记 $x_{0}$ 为函数 $t (x)$ 的零点，求证： ${(\frac{1}{e})}^{a} < x_{0} < 1$ ；

(3)、令 $m (x) = f (x) - e^{x}$ ， $a = 1$ ，若对于 $x \in [1 ， + \infty)$ ， $m (x) \leq \frac{{(x + 1)}^{2}}{b}$ 恒成立，求 $b$ 的取值范围．

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