四川省泸州市2021届高三理数第二次质量诊断试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ， $B = {x | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 2)$ D、 $[0 ， 1]$

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2. 若 $z (1 - i) = 4 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）
整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图

A、互联网行业从业人员中90后占一半以上 B、互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 C、互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多 D、互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%

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4. 若x，y满足 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq x \end{matrix}$ ，则x+2y的最大值为（　　）

A、1 B、3 C、5 D、9

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5. 离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $X \sim B (n ， p)$ ，且 $E (X) = 4$ ， $D (X) = 3$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 把函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上是增函数，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，点 $O$ 满足 $\vec{B O} = \vec{O C}$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A O}$ 的值为（）

A、-6 B、6 C、-8 D、8

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8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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9. 已知 $a = \frac{π}{\ln π}$ ， $b = \frac{2}{\ln 2}$ ， $c = e$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ， $\cos C = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，则 $\tan B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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11. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点和虚轴的一个端点分别为 $F$ ， $A$ ，点 $P$ 为 $C$ 右支上一动点，若 $△ A P F$ 周长的最小值为 $4 b$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 直六棱柱的底面是正六边形，其体积是 $6 \sqrt{3}$ ，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $12 π$ D、 $24 π$

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二、填空题

13. 已知 ${(3 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{6} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，若 $f (a - 2) + f (a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 过抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点 $F$ 的直线与该抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $| A F | = 6$ ，则 $△ B O F$ 的面积为．

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16. 关于函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + c$ 有如下四个命题：
①函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象是轴对称图形；

②当 $c < 0$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点；

③函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， f (1))$ 中心对称；

④过点 $(0 ， 1)$ 且与曲线 $f (x)$ 相切的直线可能有三条．

其中所有真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）

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三、解答题

17. 为了解某水果批发店的日销售量，对过去100天的日销售量进行了统计分析，发现这100天的日销售量都没有超出4.5吨，统计的结果见频率分布直方图．

(1)、求这100天中日销售量的中位数（精确到小数点后两位）；

(2)、从这100天中抽取了5天，统计出这5天的日销售量 $y$ （吨）和当天的最高气温 $x$ （℃）的5组数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 5)$ ，研究发现日销售量 $y$ 和当天的最高气温 $x$ 具有的线性相关关系，且 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} = 82$ ， $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 18$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 1620$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 68.8$ ．求日销售量 $y$ （吨）关于当天最高气温 $x$ （℃）的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计水果批发店所在地区这100天中最高气温在10℃~18℃内的天数．
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列， $a_{2} = 4$ ，且 $a_{3} + 2$ 是 $a_{2}$ 和 $a_{4}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．求使 $T_{n} > \frac{63}{64}$ 成立的最小整数 $n$ ．

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19. 如图，已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形， $E$ ， $F$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A B$ 的中点．

(1)、求证：直线 $D_{1} E$ ， $C F$ ， $D A$ 交于一点；

(2)、若直线 $D_{1} E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求二面角 $E - C D_{1} - B$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设不过点 $T (- 2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，直线 $T A ， T B$ 分别与 $x$ 轴交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $| T M | = | T N |$ ，证明直线 $l$ 的斜率是定值，并求出该定值．

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21. 设函数 $f (x) = \ln (x + 1) - k x$ ， $k \leq 1$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、确定 $k$ 的所有可能值，使得存在 $m > 0$ ，对任意 $x \in (0 ， m)$ 恒有 $| f (x) | < x^{2}$ 成立．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{k} x (k \in R ，且 k \neq 0)$ 与动直线 $l_{2}$ ： $y = - k (x - 4) (k \in R ，且 k \neq 0)$ 交点 $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ ．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} = 0$ ，求曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的交点的极坐标．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | x + 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \leq 7$ 的解集；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正实数，函数 $f (x)$ 的最小值为 $t$ ，且 $2 a + b + c = t$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值．

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