山西省孝义市2021届高三下学期理数第十一次模拟试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $B = {0 ， 1 ， 2} ， C = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，非空集合A满足 $A \subseteq B ， A \subseteq C$ ，则符合条件的集合A的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 + i) z = | 4 - 3 i | i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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3. 某街道甲，乙、丙三个小区的太极拳爱好者人数如下的条形图所示．该街道体协为普及群众健身养生活动，准备举行一个小型太极拳表演，若用分层抽样的方法从这三个小区的太极拳爱好者中抽取12名参加太极拳表演；则丙小区应抽取的人数为（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{b^{2} + 3} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， P$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ．则 $b =$ （）

A、3 B、5 C、7 D、9

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1 ， 0)$ 和圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，在圆 $O$ 上任取一点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，则直线 $P Q$ 的斜率大于 $- \sqrt{3}$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l₁ ， l₂ ， l₃ ，以C为圆心､CB为半径作劣弧BC₁交l₁于点C₁；以A为圆心､AC₁为半径作劣弧C₁A₁交l₂于点A；以B为圆心､BA₁为半径作劣弧A₁B₁交l₃于点B₁ ， …，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC₁的长，劣弧C₁A₁的长，劣弧A₁B₁的长，…依次为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ，$ 则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{9} =$ （）

A、30π B、45π C、60π D、65π

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7. 已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在边 $A C$ 上；且 $\vec{A E} = λ \vec{A C} (0 < λ < 1)$ ；设 $A D$ 与 $B E$ 交于点 $P$ ，当 $λ$ 变化时，记 $m = \vec{B P} \cdot \vec{B C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 随 $λ$ 的增大而增大 B、 $m$ 先随 $λ$ 的增大而增大后随 $λ$ 的增大而减少 C、 $m$ 随 $λ$ 的增大而减少 D、 $m$ 为定值

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8. 设 $α$ 是给定的平面， $A$ 和 $B$ 是不在 $α$ 内的任意两点，给定下列命题：
①在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 异面 ②在 $α$ 内存在直线与直线 $A B$ 相交

③存在过直线 $A B$ 的平面与 $α$ 垂直 ④存在过直线 $A B$ 的平面与 $α$ 平行

以上一定正确的是（）

A、②③ B、①④ C、②④ D、①③

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9. 快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：

	体积（立方分米/件）	重量（千克/件）	快递员工资（元/件）
甲批快件	20	10	8
乙批快件	10	20	10

快递员小马接受派送任务；小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大截重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为（）

A、150元 B、170元 C、180元 D、200元

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x \geq 1 \\ - \ln (2 - x) ， x < 1 \end{array}$ 则方程 $(x - 1) f (x) = 1$ 的所有实根之和为（）

A、2 B、3 C、4 D、1

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(π ， 2 π)$ 上不存在零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{7}{12}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{12}] \cup [\frac{1}{6} ， \frac{7}{12}]$ C、 $(\frac{1}{12} ， \frac{1}{6}) \cup (\frac{7}{12} ， 1]$ D、 $[\frac{1}{12} ， \frac{7}{12}]$

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12. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F_{2} T$ 交双曲线 $E$ 的左支于点 $P$ ．若 $| P F_{2} | > 2 | T F_{2} |$ ，则双曲线 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(\sqrt{5} ， + \infty)$ C、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{5})$ D、 $(2 ， \sqrt{6})$

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二、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项等于.

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14. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $8 a_{2} - a_{5} = 0 ， S_{m} = 5 S_{2}$ ，则 $m$ 的值是．

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15. 已知曲线 $C ： x y = 27$ 和直线 $l ： 3 x + 4 y = 0$ ，点 $M$ 在曲线 $C$ 上，点 $N$ 在直线 $l$ 上，则 $| M N |$ 的最小值是．

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16. 已知四面体 $A B C D$ 的棱长均为 $2 \sqrt{6} ， E ， F$ 分别为棱 $B C ， B D$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，过 $A ， E ， F$ 三点的平面与四面体 $A B C D$ 的外接球 $O$ 的球面相交，得圆 $O'$ ，则球 $O$ 的半径为，圆 $O'$ 的面积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 a + c = 2 b \cos C$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、设D为边AC上一点， $∠ A B D = ∠ C B D$ ， $B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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18. 张先生到一家公司参加面试，面试的规则是；面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，假设回答各个问题正确与否互不干扰．

(1)、求张先生通过面试的概率；

(2)、记本次面试张先生回答问题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望

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19. 如图；在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ D = 60^{°} ， C D = 2 A B = 2 B C = 2 A D = 4 ， E$ 为 $C D$ 的中点； $F$ 为 $A E$ 的中点，沿 $A E$ 将三角形 $A D E$ 折起

(1)、证明：在折起过程中，平面 $B D F ⊥$ 平面 $B C D$ ，

(2)、当折起到平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C$ 时，求二面角 $A - C D - E$ 的余弦值，

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20. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，以 $F$ 为圆心的圆与 $l$ 相切；与抛物线 $E$ 相交于 $M ， N$ 两点，且 $| M N | = 4$

(1)、求抛物线的方程

(2)、不与坐标轴垂直的直线与抛物线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点：与 $x$ 轴交于 $P$ 点；线段 $A B$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于 $Q$ 点，若 $| A B | = 2 | P Q |$ ，求 $P$ 点的坐标

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21. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x + e^{- x} (a < 0)$

(1)、当 $a = - 1$ 时，判定 $f (x)$ 有无极值，并说明理由；

(2)、若 $f (x) \geq x^{a}$ 对任意的 $x \in (1，+ \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的最小值

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为 $x + y - 4 = 0$ ，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos t ， \\ y = \sqrt{2} \sin t \end{array}$ (t为参数).以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求直线l和曲线C的极坐标方程；

(2)、设射线 $θ = α (ρ ⩾ 0 ， 0 ⩽ α < 2 π)$ 与直线l和曲线C分别交于点M，N，求 $\frac{4}{| O M |^{2}} + \frac{1}{| O N |^{2}}$ 的最小值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) ⩽ x + 6$ 的解集；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $a + b = m$ ，证明： $\frac{1}{a + m} + \frac{1}{b + m} ⩾ \frac{m}{1 + m}$ .

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