山东省济南市2021届高三数学高考模拟试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $2 i$ ， $3$ 对应的点分别为 $A ， B$ ．若 $C$ 为线段 $A B$ 上的点，且 $\vec{A C} = \vec{C B}$ ，则点 $C$ 对应的复数是（）

A、 $1 + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + i$ C、 $1 + \frac{2}{3} i$ D、 $\frac{2}{3} + i$

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x \in Z | | x - 1 | < 3}$ ， $N = {- 4 ， - 2 ， 0 ， 1 ， 5}$ ，则下列Venn图中阴影部分的集合为（）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 3 ， 1 ， 4}$ C、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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3. 已知随机变量 $X \sim N (3 ， 1)$ ，且 $P (X < 2) = 0.1587$ ，则 $P (2 \leq X \leq 4) =$ （）

A、0.1586 B、0.3413 C、0.4177 D、0.6826

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4. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} a x - 2 ， & x \leq 2 \\ (3 - 2 a) \ln (x - 1) ， & x > 2 \end{matrix}$ 在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(0 ， \frac{3}{2})$ D、 $[1 ， \frac{3}{2})$

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5. 已知变量x，y的关系可以用模型 $y = c \cdot e^{k x}$ 拟合，设 $z = \ln y$ ，其变换后得到一组数据下：

$x$

16

17

18

19

$z$

50

34

41

31

由上表可得线性回归方程 $z = - 4 x + a$ ，则c＝（　　）

A、-4 B、 $e^{- 4}$ C、109 D、 $e^{109}$

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6. 直线 $y = x + 3$ 与曲线 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x | x |}{4} = 1$ （　　）

A、没有交点 B、只有一个交点 C、有两个交点 D、有三个交点

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7. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ，若 $A B = \sqrt{2} A C$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B A}$ 的取值范围是（）

A、 $(6 - 4 \sqrt{2} ， 6 + 4 \sqrt{2})$ B、 $[6 - 4 \sqrt{2} ， 6 + 4 \sqrt{2}]$ C、 $(8 - 4 \sqrt{2} ， 8 + 4 \sqrt{2})$ D、 $[8 - 4 \sqrt{2} ， 8 + 4 \sqrt{2}]$

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8. $a = \frac{3 (2 - \ln 3)}{e^{2}} ， b = \frac{1}{e} ， c = \frac{\ln 3}{3}$ ，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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9. 如图，平面四边形 $A B C D$ 中，E，F是 $A D$ ， $B D$ 中点， $A B = A D = C D = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B D C = 90 °$ ，将 $△ A B D$ 沿对角线 $B D$ 折起至 $△ A^{'} B D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则四面体 $A^{'} B C D$ 中，下列结论不正确的是（）

A、 $E F //$ 平面 $A^{'} B C$ B、异面直线 $C D$ 与 $A^{'} B$ 所成的角为90° C、异面直线 $E F$ 与 $A^{'} C$ 所成的角为60° D、直线 $A^{'} C$ 与平面 $B C D$ 所成的角为30°

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二、多选题

10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \log_{4} 2 + b \log_{16} \sqrt{2} = \frac{5}{16}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $4 a + b = 5$ B、 $4 a + b = \frac{5}{2}$ C、ab的最大值为 $\frac{25}{64}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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11. 已知函数 $f (x) = | \sin (\cos x) | + | \cos (\sin x) |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $π$ 为函数 $f (x)$ 的一个周期 B、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、函数 $g (x) = f (x) + 2 x$ 有且仅有2个零点

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12. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别为左、右焦点，设点 $P$ 在双曲线上且在第一象限的动点，点 $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，点 $G$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的重心，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ B、点 $I$ 的运动轨迹为双曲线的一部分 C、若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ， $\vec{P I} = x {\vec{P F}}_{1} + y \vec{P F_{2}}$ ，则 $y - x = \frac{2}{9}$ . D、存在点 $P$ ，使得 $I G / / F_{1} F_{2}$

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三、填空题

13. 《航拍中国》是中央广播电视台推出的以空中视角俯瞰中国的纪录片，立体化展示了我国历史人文景观、自然地理风貌及经济社会发展，全景式俯瞰了观众们既熟悉又新鲜的美丽中国、生态中国、文明中国.小明同学观看完《四川》这一集后，决定利用四天假期时间游玩峨眉山、黄龙、九寨沟和都江堰四个景区，每天游玩一个景区，且黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，则该同学的不同游玩方法种数为.

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14. 已知 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是周期为 $π$ 的偶函数，则函数 $f (x) =$ （写出符合条件的一个函数解析式即可）

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15. 变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线，这种螺旋线极具美感.图1是鹦鹉螺的截面，其轮廓是等比变径螺旋线（半径构成等比数列），图2是一段等差变径圆弧螺旋线（半径构成等差数列），其中ABCDEF是边长为1的正六边形，弧 $F A_{1}$ 是以A为圆心，AF为半径的圆弧，弧 $A_{1} B_{1}$ 是以B为圆心， $B B_{1}$ 为半径的圆弧，弧 $B_{1} C_{1}$ 是以C为圆心， $C C_{1}$ 为半径的圆弧，依次类推，已知各圆弧的圆心角均等于正六边形的外角，则弧 $E_{1} F_{1}$ 的长为.

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长都为2，且球O为三棱锥A-BCD的外接球，点M是线段BD上靠近D点的四等分点，过点M作平面 $α$ 截球O得到的截面面积为 $S$ ，则 $S$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知 $b (\sin B + \sin C) = a \sin A - c \sin C$ ， $a = \sqrt{7}$ ， $\cos C = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，角B的平分线交边AC于点D.

(1)、求角A；

(2)、求AD的长.

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18. 已知首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 ▲ ，是否存在互不相等的正整数 $k ， r ， t$ ，使得 $S_{k}$ ， $S_{r}$ ， $S_{t}$ ，成等差数列？若存在，求 $S_{n}$ ；若不存在，请说明理由.
从（1） $a_{4} = 8 a_{1}$ （2） $S_{2 n + 1} = a_{2 n + 1}$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C // A D$ ，且 $A D = 2 A B = 2 B C = 2 ，$
$∠ B A D = 90 ° ， △ P A D$ 为等边三角形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；点 $E 、 M$ 分别为 $P D 、 P C$ 的中点．

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $D M$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值．

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20. 武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n次；②混合检验，将其中 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份血液全为阴性，因此这k份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为 $k + 1$ 次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

(2)、现取其中 $k (k \in N^{*} ， k \geq 2)$ 份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为 $ξ_{1}$ ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 $ξ_{2}$ .
（i）试运用概率统计知识，若 $E (ξ_{1}) = E (ξ_{2})$ ，试求P关于k的函数关系式 $p = f (k)$ ；

（ii）若 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[3]{e}}$ ，采用混合检验方式可以使得这k份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.

参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ， $\ln 4 \approx 1.3863$ ， $\ln 5 \approx 1.6094$ ， $\ln 6 \approx 1.7918$

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b \geq 1)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆C上一点N到 $Q (0 ， 3)$ 距离的最大值为4，过点 $M (3 ， 0)$ 的直线交椭圆C于点A、B.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设P为椭圆上一点，且满足 $\vec{O A} + \vec{O B} = t \vec{O P}$ （O为坐标原点），当 $| A B | < \sqrt{3}$ 时，求实数t的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \sin x$ .（ $e = 2.71828$ ……为自然对数的底数）

(1)、设函数 $h (x) = f (x) - (x - 1) \cdot g (x)$ ，当 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时，求函数 $h (x)$ 零点的个数；

(2)、求证： $g (x) \cdot g^{'} (x) + 1 < x \cdot f (x) - \ln x$ .

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$x$	16	17	18	19
$z$	50	34	41	31