江西省六校2021届高三理数3月联考试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为R，集合 $M = {x | 0 < x \leq 2}$ ， $N = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $(C_{R} M) \cap N =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - i}$ ，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $\vec{c} = (3 k + 2) \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + k \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 方向相反，则实数k的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或-2 D、-1或 $\frac{1}{3}$

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4. 已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、8

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点，设直线 $A B$ 的倾斜角为 $θ$ ，则 $0 < \tan θ < 1$ 是 $| A B | > 4$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 将函数 $f (x) = \cos (x + \frac{π}{6})$ 的图象上所有点的横坐标压缩为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，得到 $g (x)$ 图象，若 $g (x_{1}) + g (x_{2}) = 2$ ，且 $x_{1} ， x_{2} \in [- 2 π ， π]$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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7. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $B (4 ， 4)$ ，点 $C (0 ， 4)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上，曲线 $y = \sin \frac{π x}{2} + 3$ 与线段 $A B$ 交于点 $D (4 ， 3)$ .若在四边形 $O A B C$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知：丙的年龄比秘书的大，甲的年龄和总经理不同；总经理的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）

A、甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B、甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长 C、甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D、甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长

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9. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙不在同一路口的分配方案共有（）

A、18种 B、24种 C、36种 D、42种

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10. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{e - e x}{1 + x}$ ，若 $f (a) + f (a + 1) > 2$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < a < 1$ B、 $- \frac{1}{2} < a < 0$ C、 $- 1 < a < - \frac{1}{2}$ D、 $- 1 < a < 0$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为A，直线l经过A点且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，以右焦点F为圆心、 $O F$ 为半径的圆与直线l从左往右依次交于P、Q两点（O为坐标原点），若 $∠ O F Q = \frac{2 π}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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12. 已知关于x的不等式 $\frac{e^{x}}{x^{e}} - k \ln x \geq x + 1$ 对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ 都成立，则实数k的最大值为（）

A、 $1 - e$ B、-2 C、 $- e$ D、-3

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二、填空题

13. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y - 2 \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值为.

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14. 某射击运动员一次击中目标的概率是 $\frac{3}{4}$ ，连续两次击中目标的概率是 $\frac{1}{2}$ ，已知该运动员第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率是.

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15. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{a_{5}}{a_{2}} = 3$ ， $3 S_{7} = 7 a_{2} + 14 a_{m}$ ，则正整数m的值为.

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16. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是直线 $B C_{1}$ 上的一个动点，点Q在平面 $A C D_{1}$ 上，则 $P Q$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\cos 2 C + \cos C = 0$ .
（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知点D在边 $B C$ 上， $∠ A D B = \frac{2 π}{3}$ ， $B D = 3$ ， $A B = \sqrt{19}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 均为等边三角形， $A B = 2 A A_{1} = 2 C C_{1} = 2 A_{1} B_{1}$ ，O为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $O B B_{1}$ ；

(2)、求直线 $O B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为M， $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，且原点O到直线 $M F_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程：

(2)、已知斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线l交椭圆C于A、B两点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

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20. 已知 $f (x) = x \sin x + \sin (x + \frac{π}{2})$

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调性；

(2)、设 $g (x) = x^{2} + 4 - 4 f (x)$ ，试判断 $g (x)$ 在R上的零点个数，并说明理由.

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21. 某种疾病可分为 $Ι$ 、 $Ⅱ$ 两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患 $Ⅰ$ 型病的人数占男性病人的 $\frac{5}{6}$ ，女性患 $Ⅰ$ 型病的人数占女性病人的 $\frac{1}{3}$ .

(1)、若在犯错误的概率不超过 $0.005$ 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？

(2)、某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，每人每次接种花费 $m (m > 0)$ 元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 $q (0 < q < 1)$ ，每人每次花费 $n (n > 0)$ 元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当 $n = \frac{2}{3} m$ ， $p = q$ 时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P（K²≥k₀）

0.10

0.05

0.01

0.005

0.001

k₀

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} + 2 \cos α \\ y = 1 + 2 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数），在以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 $P$ 在射线 $l ： θ = \frac{π}{3}$ 上，且点 $P$ 到极点 $O$ 的距离为 $4$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程与点 $P$ 的直角坐标；

(2)、求 $△ O C P$ 的面积.

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23. 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)、当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)、若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828