江西省八校2020-2021学年高二下学期理数第四次联考试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $A = {x | \log_{2} (x + 2) < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 2, 3]$ B、 $[- 2, 3]$ C、 $[- 1, 0)$ D、 $(- \infty, 3]$

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2. 设a＝log₂0.4，b＝0.4² ， c＝2^0.4 ，则a，b，c的大小关系为（　　）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、b＜a＜c D、b＜c＜a

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3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的 $S$ 为 $\frac{11}{12}$ ，则判断框中填写的内容可以是（）

A、 $n < 5$ B、 $n < 6$ C、 $n < 7$ D、 $n < 9$

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4. 屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为2.4m，内环弧长为0.6 m，径长（外环半径与内环半径之差）为0.9 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为（）

A、1.20m² B、1.25 m² C、1.35 m² D、1.40 m²

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5. 从4名男同学和3名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出2名同学中恰好有1男1女同学的概率是（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{3}{7}$

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6. 函数 $f (x) = (e^{- x} - e^{x}) \sin 2 x$ 的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \leq 2 ， \\ x + y \geq 2 ， \\ x + 2 y \leq 4 ， \end{matrix}$ 则 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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8. 非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、4

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9. 已知 ${a_{n}}$ 为无穷等比数列，且公比 $0 < q < 1$ ，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下面结论正确的是（）

A、 $a_{3} < a_{2}$ B、 $a_{1} \times a_{2} > 0$ C、 ${a_{n}}$ 是递减数列 D、 $S_{n}$ 存在最小值

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10. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ (如图)，过 $F_{2}$ 的直线交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $| P F_{2} | = 13 | F_{2} Q |$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图像如图所示，且 $f (x)$ 的图像关于点 $(x_{0} ， 0)$ 对称，则 $| x_{0} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12. 如图，已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1，侧棱长为2，点 $P$ ， $Q$ 分别在半圆弧 $\overset{⌢}{C_{1} C}$ ， $\overset{⌢}{A_{1} A}$ （均不含端点）上，且 $C_{1}$ ， $P$ ， $Q$ ， $C$ 在球 $O$ 上，则下列命题：①当点 $Q$ 在 $\overset{⌢}{A_{1} A}$ 的三等分点处，球 $O$ 的表面积为 $(11 - 3 \sqrt{3}) π$ ；②当点 $P$ 在 $\overset{⌢}{C_{1} C}$ 的中点处，过 $C_{1}$ ， $P$ ， $Q$ 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形；③当点 $P$ 在 $\overset{⌢}{C_{1} C}$ 的中点处，三棱锥 $C_{1} - P Q C$ 的体积为定值.其中真命题的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

13. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是.
0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410

9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 5 x - m ， & x < 1 \\ 2^{x} ， & x ⩾ 1 \end{array}$ ，若 $f (f (\frac{4}{5})) = 8$ ，则m= ．

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15. 已知 ${(x + 3)}^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(x + 1)}^{5} + a_{6} {(x + 1)}^{6}$ ，则 $a_{5} =$ .

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交该双曲线的右支于 $M$ ， $N$ 两点（ $M$ 点位于第一象限）， $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $R_{1}$ ， $△ N F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $R_{2}$ ，且满足 $\frac{R_{1}}{R_{2}} = 3$ ，则直线 $l$ 的斜率.

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三、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $B D = \sqrt{7}$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求边 $A B$ 的长；

(2)、若 $∠ C B D = \frac{π}{3}$ ， $B C = B D$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知公比大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 14$ ， $a_{3} = 8$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $A B ⊥ B C$ ， $C D / / A B$ ，面 $A B E ⊥$ 面 $A B C D$ ，且 $A B = B E = 2 C D = A E = 2 B C = 4$ ，点M在棱AE上.

(1)、证明：当 $M A = 2 E M$ 时，直线 $C E / /$ 平面 $B D M$ ；

(2)、当 $A E ⊥$ 平面 $M B C$ 时，求二面角 $E - B D - M$ 的余弦值.

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20. 在某运动会上，有甲队女排与乙队女排以“五局三胜”制进行比赛，其中甲队是“慢热”型队伍，根据以往的经验，首场比赛甲队获胜的概率为 $P$ ，决胜局（第五局）甲队获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，其余各局甲队获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求甲队以 $3 ： 2$ 获胜的概率；

(2)、现已知甲队以 $3 ： 0$ 获胜的概率是 $\frac{1}{12}$ ，若比赛结果为 $3 ： 0$ 或 $3 ： 1$ ，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 $3 ： 2$ ，则胜利方得2分，对方得1分，求甲队得分的分布列及数学期望.

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21. 已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，以 $F$ 为圆心的圆与 $l$ 相切；与抛物线 $E$ 相交于 $M ， N$ 两点，且 $| M N | = 4$

(1)、求抛物线的方程

(2)、不与坐标轴垂直的直线与抛物线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点：与 $x$ 轴交于 $P$ 点；线段 $A B$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交于 $Q$ 点，若 $| A B | = 2 | P Q |$ ，求 $P$ 点的坐标

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22. 已知函数 $f (x) = 2 x \cdot \ln a - (x + a) \cdot \ln x$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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