湖北省2021届高三数学5月份高考联考试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集为U，集合A，B为U的子集，若 $(∁_{U} A) \cap B = \emptyset$ ，则A∩B=（）

A、 $∁_{U} B$ B、 $∁_{U} A$ C、B D、A

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2. 在平面直角坐标系xOy中，角 $α$ 的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若点 $P (- 1 ， 2)$ 是角 $α$ 终边上的一点，则 $\tan (π - 2 α)$ 等于（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，若 $| P F_{1} | = 5$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、1或9 C、3或9 D、9

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4. 已知复数 $z_{n} = 1 + i + i^{2} + \dots + i^{n}$ (i为虚数单位， $n \in N^{*}$ )，若 $M = {z | z = z_{s} \cdot z_{t} (s ， t = 1 ， 2 ， \dots ， n)}$ ，从M中任取一个元素，其模为1的概率为（）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{n}$

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5. 生物体的生长都经过发生､发展､成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢､在发展阶段速度加快､在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化曲线称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为 $f (x) = \frac{K}{1 + a^{k x + b}} (K > 0 ， a > 1 ， k < 0)$ .一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为 $f (x) = \frac{10}{1 + 3^{k x + b}} (x \in N)$ ，x表示果树生长的年数， $f (x)$ 表示生长第x年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1m，经过一年，该果树高为2.5m，则 $f (4) - f (3) =$ （）

A、2.5m B、2m C、1.5m D、1m

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6. 如图，圆台 $O O_{1}$ 的上底面半径为 $O_{1} A_{1} = 1$ ，下底面半径为 $O A = 2$ ，母线长 $A A_{1} = 1$ ，过 $O A$ 的中点B作 $O A$ 的垂线交圆O于点C，则异面直线 $O O_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图)，记第2行的第3个数字为a₁､第3行的第3个数字为a₂ ， ……，第n( $n ⩾ 2$ )行的第3个数字为 $a_{n - 1}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{10} =$ （）

A、220 B、186 C、120 D、96

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8. 已知点P在直线 $x + y = 4$ 上，过点P作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为A，B，则点 $M (3 ， 2)$ 到直线AB距离的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分､“较强”记为5分､“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（）

A、甲､乙的五项能力指标的均值相同 B、甲､乙的五项能力指标的方差相同 C、如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力 D、如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力

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10. 已知两个不为零的实数x，y满足 $x < y$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $3^{| x - y |} > 1$ B、 $x y < y^{2}$ C、 $x | x | < y | y |$ D、 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} < e^{x} - e^{y}$

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11. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是 $f (x) = 0$ 的根，选取 $x_{0}$ 作为r的初始近似值，过点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l ： y - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0})$ ，则l与x轴的交点的横坐标 $x_{1} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})} (f' (x_{0}) \neq 0)$ ，称 $x_{1}$ 是r的一次近似值；过点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x₂ ，称x₂是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})} (f' (x_{n}) \neq 0)$ ，称 $x_{n + 1}$ 是r的n+1次近似值，这种求方程 $f (x) = 0$ 近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程 $x^{2} = 2$ 的近似解，则（）

A、若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为 $\frac{17}{12}$ B、若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为 $\frac{17}{12}$ C、 $x_{4} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$ D、 $x_{4} = x_{0} - \frac{f (x_{0})}{f' (x_{0})} + \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})} + \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin^{n} x + \cos^{n} x (n \in N^{*})$ ，则（）

A、对任意正奇数 $n$ ， $f (x)$ 为奇函数 B、对任意正整数 $n$ ， $f (x)$ 的图象都关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、当 $n = 3$ 时， $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当 $n = 4$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间是 $[- \frac{π}{4} + k π ， k π] (k \in Z)$

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ， $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为.

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14. 请写出一个函数 $f (x) =$ ，使之同时具有如下性质：① $\forall x \in R$ ， $f (x) = f (4 - x)$ ，② $\forall x \in R$ ， $f (x + 4) = f (x)$ .

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15. 已知椭圆C的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线AB过 $F_{1}$ 与椭圆交于A ， B两点，当 $△ F_{2} A B$ 为正三角形时，该椭圆的离心率为.

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16. 在上､下底面均为正方形的四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = D D_{1} = \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ， $A_{1} B_{1} = 1$ ，则该四棱台的表面积为；该四棱台外接球的体积为.

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四、解答题

17. 在等比数列{a_n}中，公比 $q > 0$ ，其前n项和为S_n ，且S₂=6，___________.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{a_{n}} 2$ ，且数列{c_n}满足c₁=1，c_n+1﹣c_n=b_n+1b_n ，求数列{c_n}的通项公式.
从①.S₄=30，②.S₆﹣S₄=96，③.a₃是S₃与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $b \cos C = a + \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin B$ ，点D在边AC上，且 $A D = 2 D C$ ， $B D = 2$ .

(1)、求角B的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC， $△ A B C$ 为正三角形，AB=AA₁=2，E是BB₁的中点.

(1)、求证：平面AEC₁⊥平面AA₁C₁C；

(2)、求二面角B﹣AC₁﹣E的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直线MN与抛物线C交于点P.

(1)、求证：点P是线段MN的中点.

(2)、若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为 $60 °$ 的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲､乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ ，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.

(1)、甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？

(2)、蓝方机群共有8架战机，若甲､乙共同攻击(战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机).
①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为X，求X的分布列；

②若实施两轮攻击(用完携带的导弹)，记命中蓝方战机数为Y，求Y的数学期望E(Y).

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x + 1 (a \in R)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若不等式 $x^{e} f (x) \leq e^{x}$ 对任意的 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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