贵州省遵义市2021届高三理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} = 1}$ ， $B = {(x ， y) | y = - x}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. 下列4个图从左到右位次是四位同学甲、乙、丙、丁的五能评价雷达图：

在从他们四人中选一位发展较全面的学生，则应该选择（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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4. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为相互垂直的单位向量，若 $\vec{c} = \sqrt{3} \vec{a} - \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{c}$ 的夹角为（）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 若正数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y - 2 x y = 0$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、5 D、4

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6. 下列选项中，为“数列 ${a_{n}}$ 是等差数列”的一个充分不必要条件的是（）

A、 $2 a_{n} = a_{n + 1} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ B、 $a_{n}^{2} = a_{n + 1} \cdot a_{n - 1}$ C、通项公式 $a_{n} = 2 n - 3$ D、 $a_{n + 2} - a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1} (n \in N^{*})$

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7. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $8 - \frac{2 π}{3}$ B、 $4 - \frac{2 π}{3}$ C、 $8 - \frac{8 π}{3}$ D、 $8 - 2 π$

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8. 将函数 $f (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法错误的是（）

A、 $y = g (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ B、 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、 $y = g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值为2 D、 $y = g (x)$ 的一个零点为 $\frac{5}{12} π$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x ， 0 \leq x < 2 \\ 2 f (x - 2) ， x \geq 2 \end{array}$ ，则 $f (9) =$ （）

A、16 B、8 C、-8 D、-16

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = A (3^{n} - 1) ， (A \neq 0)$ ，若 $k$ 为 $3$ 和 $l$ 的等差中项 $(k ， l \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{2 k}}{a_{l}} =$ （）

A、3 B、9 C、27 D、与A的取值有关

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{27} = 1$ 上一点 $P$ 到右焦点 $F_{2}$ 距离为 $6$ ， $F_{1}$ 为左焦点，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线与 $x$ 轴交点坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(0 ， 0)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(2 ， 0)$

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12. $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $x e^{x - 3} - x - \ln x \geq a$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为（）

A、-2 B、0 C、 $e^{- 2} - 1$ D、 $- \ln 3$

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二、填空题

13. 已知 $n \in N^{*}$ ， ${(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则该二项式展开式中各项系数和为.

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14. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ 2 x - y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = \frac{2 x + y}{x}$ 的取值范围为.

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15. 直线 $y = k x - k + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $| A B |$ 最小值为.

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，现将 $Δ D E C$ 沿 $E C$ 折起形成四棱锥 $P - A B C E$ ，则下列命题中为真命题的是.

①设点 $O$ 为 $A C$ 中点，若 $M C = \sqrt{2} P M$ ，则在折起过程中， $P 、 M 、 B 、 O$ 四点可能共面；

②设 $O D$ 与 $E C$ 交于点 $F$ ，则在折起过程中 $A C$ 与 $P F$ 可能垂直；

③四棱锥 $P - A B C E$ 体积的最大值为 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ .

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $b + c = 2 ，$ 且 $a = \sqrt{3} ，$ 求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $b = 2 c ，$ 求 $\sin C$ .

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18. 2020年遵义市高中生诗词大赛如期举行，甲、乙两校进入最后决赛的第一环节．现从全市高中老师中聘请专家设计了第一环节的比赛方案：甲、乙两校从6道不同的题目中随机抽取3道分别作答，已知这6个问题中，甲校选手只能正确作答其中的4道，乙校选手正确作答每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两校对每道题的作答都是相互独立，互不影响的．

(1)、求甲、乙两校总共正确作答2道题目的概率；

(2)、请从期望和方差的角度分析，甲、乙两校哪所学校获得第一环节胜利的可能性更大？

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P B = \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ P D$ .

(1)、证明： $A D = B D$ ；

(2)、若 $A D = P D = 2$ ，求二面角 $A - P D - C$ 的正弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - (m + 1) x - m \ln x ， (m \in R)$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数.

(1)、若 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围；

(2)、证明：存在 $m > 0$ ，使得 $f (x)$ 在 $(1 ， e)$ 上有唯一零点.

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21. 已知直线 $l_{1} ： y = k (x - 2) ， l_{2} ： y = - \frac{3}{4 k} (x + 2)$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交点轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、点 $P (1 ， m)$ 是曲线 $C$ 上的点， $E ， F$ 是曲线 $C$ 上的动点，且满足直线 $P E$ 斜率与直线 $P F$ 斜率和为 $0$ ，求直线 $E F$ 的斜率.

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22. 如图是美丽的三叶草图案，在以 $O$ 为极点， $O x$ 轴为极轴的极坐标系中，它由弧 $\overset{⌢}{H M}$ ，弧 $\overset{⌢}{M N}$ ，弧 $\overset{⌢}{N H}$ 组成.已知它们分别是方程为 $ρ = 4 \sin (θ + \frac{π}{3})$ ， $ρ = 4 \sin (θ - \frac{π}{3})$ ， $ρ = - 4 \sin θ$ 的圆上的一部分.

(1)、分别写出点 $H ， M ， N$ 的极坐标；

(2)、设点 $P$ 是由点 $H ， M ， N$ 所确定的圆 $C$ 上的动点，直线 $L ： θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ ，求点 $P$ 到 $L$ 的距离的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - | x - m |$ 的最大值为4（其中 $m > 0$ ）.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = m$ ，求 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{4}{c^{2}}$ 的最小值.

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