福建省漳州市2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0 ， x \in N}$ ， $B = {y | y = 2^{x - 1}}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知i为虚数单位，若复数 $ω = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $ω^{2} =$ （）

A、 $\bar{ω}$ B、1 C、 $ω$ D、0

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$ ， $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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4. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{5} + 6 = 2 a_{7}$ ，则 $S_{17}$ 的值为（）

A、49 B、54 C、102 D、135

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5. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为 $60 °$ ，侧面积为 $14 π$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{21}}{3} π$ B、 $7 \sqrt{21} π$ C、 $\frac{14 \sqrt{42}}{3} π$ D、 $14 \sqrt{42} π$

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6. “墨卡托投影”是由荷兰地图学家墨卡托在1569年拟定，假设地球被围在一个中空圆柱里，其基准纬线与圆柱相切接触，假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅“墨卡托投影”绘制出的地图.在地图上保持方向和角度的正确是“墨卡托投影”的优点，因此，“墨卡托投影”地图常用作航海图和航空图.通过地面上任意两点和地球中心作一平面，平面与地球表面相交看到的圆周就是大圆，两点之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离.沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为“大圆航线”.“大圆航线”转绘到“墨卡托投影”地图上为一条曲线.如图， $P_{1} (B_{1} ， L_{1})$ ， $P_{2} (B_{2} ， L_{2})$ 为地球上的两点( $P (B ， L)$ 中 $B$ 为点 $P$ 的正纬度或负纬度， $L$ 为点 $P$ 的正经度或负经度， $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $L_{1}$ ， $L_{2}$ 的符号确定规则如下： $B_{1} \geq 0$ ， $L_{1} \geq 0$ ，当 $P_{2}$ 与 $P_{1}$ 同在北半球或同在南半球时， $B_{2} \geq 0$ ，否则 $B_{2} < 0$ ；当 $P_{2}$ 与 $P_{1}$ 同在东经区或同在西经区时， $L_{2} \geq 0$ ，否则 $L_{2} < 0$ )，记 $Δ L = L_{2} - L_{1}$ ， $S = ∠ P_{1} O P_{2}$ ，其中 $O$ 为地球中心，已知有下面等式： $\cos S = \sin B_{1} \cdot \sin B_{2} + \cos B_{1} \cdot \cos B_{2} \cdot \cos Δ L$ .某游轮拟从杭州(北纬 $30 °$ ，东经 $120 °$ )沿着大圆航线航行至旧金山(北纬 $38 °$ ，西经 $122 °$ )，则大圆航程约为（）(大圆圆心角1度所对应的弧长约为 $60 n mile$ )参考数据： $\sin 38 ° - \sqrt{3} \cos 38 ° \sin 28 ° \approx - 0.025$ ， $\sin 38 ° + \sqrt{3} \cos 38 ° \sin 28 ° \approx 1.256$ ， $\sin 0.72 ° \approx 0.0125$ ， $\cos 51.1 ° \approx 0.628$ .

A、 $43 n mile$ B、 $2334 n mile$ C、 $3066 n mile$ D、 $5443 n mile$

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7. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 6 y$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $M$ 是 $l$ 上一点， $N$ 是直线 $M F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\vec{M N} = 2 \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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8. 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾､生津止渴､消暑除烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间 $t$ (单位：小时)与失去的新鲜度 $y$ 满足函数关系 $y = {\begin{array}{l} \frac{1}{1000} t^{2} ， 0 \leq t < 10 \\ m a^{t} ， 10 \leq t \leq 100 \end{array}$ ，其中 $m$ ， $a$ 为常数.已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度，采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%，则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数据： $\log_{2} 3 \approx 1.6$ )（）

A、20小时 B、25小时 C、28小时 D、35小时

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二、多选题

9. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $a$ ， $b$ 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a / / b$ B、若 $b / / α$ ， $b \subset β$ ， $α \cap β = a$ ，则 $a / / b$ C、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $a / / α$ ， $b ⊥ β$ ， $a / / b$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 已知正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $2^{x} = 4^{y} = 6^{z}$ ，则（）

A、 $x = 2 y$ B、 $x < 2 y$ C、 $x < 3 z$ D、 $y < 3 z$

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11. 已知 ${(1 + 2 x)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第 $r + 1$ 项的系数为 $a_{r + 1}$ ，二项式系数为 $b_{r + 1}$ ， $r = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{r + 1}} (r = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 是等比数列 B、数列 ${a_{r + 1}} (r = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 的所有项之和为729 C、数列 ${b_{r + 1}} (r = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 是等差数列 D、数列 ${b_{r + 1}} (r = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 的最大项为20

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12. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $\sin B + 2 \sin A \cos C = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是钝角三角形 B、 $\sin^{2021} A + \sin^{2021} B < \sin^{2021} C$ C、角 $B$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$ D、角 $C$ 的最大值为 $\frac{2}{3} π$

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三、填空题

13. 写出曲线 $y = e^{x}$ 的一条切线方程：.

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14. 根据下面的数据：

$x$

1

2

3

4

$y$

32

48

72

88

求得 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 19.2 x + 12$ ，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为.(注：残差是指实际观察值与估计值之间的差.)

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15. 在棱长为 $\sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，动点 $O$ 满足 $∠ B_{1} O D_{1} = 90^{\circ}$ ，则 $∠ A O C$ 的最大值为.

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16. 设动圆 $C$ ： ${(x - k)}^{2} + {(y - 2 k + 1)}^{2} = 1$ ，则圆心 $C$ 的轨迹方程为﹔若直线 $l$ ： $x - t y - 1 = 0$ 被 $C$ 所截得的弦长为定值，则 $t =$ .

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四、解答题

17. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90^{°}$ ， $∠ C = 135^{°}$ ， $B C = 1$ ， $B D = \sqrt{5}$ .

(1)、求 $C D$ ；

(2)、若 $\cos ∠ A = \frac{3}{5}$ ，求 $\sin ∠ A D B$ .

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18. 已知有一系列双曲线 $C_{n}$ ： $y^{2} - a_{n} x^{2} = 1$ ，其中 $a_{n} > 0$ ， $n \in N^{*}$ .记第 $n$ 条双曲线的离心率为 $e_{n}$ ，且满足 $e_{1} + 2 e_{2} + \dots + 2^{n - 1} e_{n} = (e_{n} - 2) \cdot 2^{n} + 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${e_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 1$ ， $S C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，三棱锥 $S - B C D$ 是正三棱锥， $E$ ， $F$ 分别为 $S A$ ， $S C$ 的中点.

(1)、证明：直线 $S A / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求二面角 $E - B F - D$ 的余弦值.

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20. 为全面推进学校素质教育，推动学校体育科学发展，引导学生积极主动参与体育锻炼，促进学生健康成长，从2021年开始，参加漳州市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕业生，体育中考成绩以分数(满分40分计入中考总分)和等级作为高中阶段学校招生投档录取依据.考试由必考类､抽考类､抽选考类三部分组成，必考类是由笔试体育保健知识(分值4分)，男生1000米跑､女生800米跑(分值15分)组成；抽考类是篮球､足球､排球，由市教育局从这三项技能中抽选一项考试(分值5分)；抽选考类是立定跳远､1分钟跳绳､引体向上(男)､斜身引体(女)､双手头上前掷实心球､1分钟仰卧起坐，由市教育局随机抽选其中三项，考生再从这三个项目中自选两项考试，每项8分，已知今年教育局已抽选确定：抽考类选考篮球，抽选考类选考立定跳远､1分钟跳绳､双手头上前掷实心球这三个项目，甲校随机抽取了100名本校初三男生进行立定跳远测试，根据测试成绩得到如下的频率分布直方图．

(1)、若漳州市初三男生的立定跳远成绩 $X$ (单位：厘米)服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，并用上面样本数据的平均值和标准差的估计值分别作为 $μ$ 和 $σ$ ，已计算得上面样本的标准差的估计值为 $\sqrt{379} \approx 19$ (各组数据用中点值代替)，在漳州市2021届所有初三男生中任意选取3人，记立定跳远成绩在231厘米以上(含231厘米)的人数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和期望．

(2)、已知乙校初三男生有200名，男生立定跳远成绩在250厘米以上(含250厘米)得满分．
（i）若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从（1）中所求的正态分布，请估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数(结果保留整数)；

（ii）事实上，（i）中的估计值与乙校实际情况差异较大，请从统计学的角度分析这个差异性．(至少写出两点)

附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

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21. 已知复数 $z = x + y i (x ， y \in R)$ 在复平面内对应的点为 $M (x ， y)$ ，且 $z$ 满足 $| z + 2 | - | z - 2 | = 2$ ，点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，若过 $F (2 ， 0)$ 的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，且直线 $A P$ 与 $B Q$ 交于点 $R$ .证明：
（i）点 $R$ 在定直线上；

（ii）若直线 $A Q$ 与 $B P$ 交于点 $S$ ，则 $R F ⊥ S F$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x - a | \ln x |$ .

(1)、若 $a = 1$ ，讨论 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有且只有两个零点.

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$x$	1	2	3	4
$y$	32	48	72	88