福建省厦门市2021届高三下学期数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $(- 1 + 3 i) z = 10$ ，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | x (2 - x) \geq 0}$ ， $B = {x | - 5 \leq 3 - 2 x \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $[1 ， 2]$

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3. “ $x^{2} > 4$ ”是“ $3^{x} > 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 2) + t$ ， $f (- 6) =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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5. 铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（）

A、 $\frac{2}{\tan 18 °}$ B、 $\frac{1}{2 \tan 18 °}$ C、 $\frac{5}{π}$ D、 $\frac{π}{5}$

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6. 已知某地居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额ξ（单位：千元）服从正态分布 $N (2 ， 1)$ ，则该地某居民在2020年“双十一”期间的网上购物消费额在 $(0 ， 3]$ 内的概率为（）
附：随机变量ξ服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ， $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0 ． 6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx$ 0.9545， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0 ． 9973$ ．

A、0.9759 B、0.8186 C、0.73 D、0.4772

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7. 函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，且 $f (\frac{π}{2}) = - 1$ ，现将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上的值域是（）

A、 $[- 1 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ D、 $[- \sqrt{2} ， 1]$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的中心为O ，圆 $M ： {(x - a)}^{2} + y^{2} = b^{2}$ 与双曲线C的一条渐近线交于P ， Q两点．若 $\vec{M Q} = \frac{1}{3} \vec{M O} + \frac{2}{3} \vec{M P}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{65}}{8}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{4}$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， 3)$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m = - \frac{3}{8}$ B、若 $m = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - \frac{3}{2}$ D、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = 13$ ，则 $m = - 8$ 或16

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10. 某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

A、 $a = 3$ B、注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C、注射该药物 $\frac{1}{8}$ 小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克 D、注射一次治疗该病的有效时间长度为 $5 \frac{31}{32}$ 时

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11. 素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆（Sundaram ， 1934）素数筛法矩阵：

4	7	10	13	16	19	…
7	12	17	22	27	32	…
10	17	24	31	38	45	…
13	22	31	40	49	58	…
16	27	38	49	60	71	…
19	32	45	58	71	84	…
…	…	…	…	…	…	…

其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在矩阵中，则 $2 n + 1$ 一定是合数，反之如果正整数n不在矩阵中，则 $2 n + 1$ 一定是素数，下面结论中为真命题的有（）

A、第4行第10列的数为94 B、第7行的数构成公差为15的等差数列 C、592不会出现在此矩阵中 D、第10列中前10行的数之和为1255

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{2 \ln (- x)}{x}$ ， $g (x) = \frac{x - 2 m}{3 x^{2}}$ ，若函数 $h (x) = g (f (x)) + \frac{1}{m}$ 有3个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 2 f (x_{3})$ 的取值可以是（）

A、 $- \frac{2}{e}$ B、 $\frac{2}{e}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $- \frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 3 b = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为．

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14. 有8名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，若甲学校需要2名，乙学校需要2名，丙学校需要4名．则不同安排方法的种数为．（用数字作答）

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15. 已知直线 $y = - x - 4$ 与抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 相交于A ， B两点，抛物线的焦点为F ， $\vec{F A} \cdot \vec{F B} =$ ．

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点A ， B ， C ， D均在球O的球面上， $A B = A C = A D$ ， $△ B C D$ 是边长为4的等边三角形，M ， N分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点， $D M ⊥ M N$ ，则 $A B =$ ，球O的表面积是．

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四、解答题

17. 在① $\sqrt{S_{n + 1}} = \sqrt{S_{n}} + 1$ ，② $\sqrt{4 S_{n} - 1}$ 是 $2 n + 1$ 与 $a_{n}$ ，的等比中项，③ $4 S_{n} = {(1 + a_{n})}^{2} (a_{n} > 0)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且满足 ▲ ，若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求使不等式 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} > \frac{9}{19}$ 成立的最小正整数n ．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 三个内角A ， B ， C的对边，且 $\sin^{2} B + \sin^{2} C = \sin^{2} A + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin A \cdot \sin B \sin C$ ．

(1)、若 $b = \sqrt{3} c$ ， $△ A B C$ 的面积为3，求b与c；

(2)、若 $\sin B + \sin C = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求C．

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19. 国际学生评估项目（PISA），是经济合作与发展组织（OECD）举办的，该项目的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2018年的79个参测国家（地区）的抽样测试中，中国四省市（北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家（地区）取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：

	成绩优秀	成绩一般	总计
家长高度重视学生教育	90	x	y
家长重视学生教育度一般	30	z	$ω$
总计	120	80	200

若从上表“家长高度重视学生教育”的参测选手中随机抽取一人，则选到的是“成绩一般”的选手的概率为 $\frac{4}{13}$ ．

(1)、判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况”与“家长对学生的教育重视程度”有关；

(2)、现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持”的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障”的调查．记进行“学生家庭教育资源保障”调查中抽取到“家长高度重视学生教育”的人数为X ，求X的分布列和数学期望．

附 $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A B ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \sqrt{3} A D$ ， $∠ A C B = 30 °$ ．

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、当直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成的角最大时，求二面角 $P - B D - C$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 4$ ，且 $a = \sqrt{2} b$ ．

(1)、求 $C$ 的方程．

(2)、若 $A$ ， $B$ 为 $C$ 上的两个动点，过 $F_{2}$ 且垂直 $x$ 轴的直线平分 $∠ A F_{2} B$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = a (\frac{1}{x} - 1) - \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

(2)、若 $a = 1$ ，证明： $\ln (x + 1) \cdot f (x) < 1 + e^{- 2}$ ．

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4	7	10	13	16	19	…
7	12	17	22	27	32	…
10	17	24	31	38	45	…
13	22	31	40	49	58	…
16	27	38	49	60	71	…
19	32	45	58	71	84	…
…	…	…	…	…	…	…

4	7	10	13	16	19	…
7	12	17	22	27	32	…
10	17	24	31	38	45	…
13	22	31	40	49	58	…
16	27	38	49	60	71	…
19	32	45	58	71	84	…
…	…	…	…	…	…	…

4	7	10	13	16	19	…
7	12	17	22	27	32	…
10	17	24	31	38	45	…
13	22	31	40	49	58	…
16	27	38	49	60	71	…
19	32	45	58	71	84	…
…	…	…	…	…	…	…