“陕西名校”2021届高三理数5月检测试卷

试卷更新日期：2021-07-19 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2 x^{2} + 7 x - 4 < 0} ， B = {x ∣ {(\frac{1}{2})}^{- x} \geq \frac{1}{8}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 3 < x < \frac{1}{2}}$ B、 ${x ∣ - 3 \leq x < \frac{1}{2}}$ C、 ${x ∣ - 4 \leq x < - 3}$ D、 ${x ∣ - \frac{1}{2} \leq x < 3}$

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2. 复数 $z = \frac{1 - i}{i^{3}}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $i$ D、 $- i$

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3. 袋中有红､黄､绿，蓝颜色的球各一个，每次随机取一个后放回袋中，连续取四次，则取出的球颜色完全不相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{256}$ B、 $\frac{1}{64}$ C、 $\frac{3}{32}$ D、 $\frac{3}{16}$

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4. 已知实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 3 \geq 0 \\ 3 x + 2 y + 6 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x + y$ 的最小值为（）

A、-5 B、 $- \frac{21}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，若 $f (- 1) = f (2) = 1$ ，则下列不等式错误的是（）

A、 $f (- \frac{3}{2}) > - 1$ B、 $f (- 1) > f (1)$ C、 $f (3) > 1$ D、 $f (\frac{1}{2}) > - 1$

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6. 已知 $tan α = - 3$ ，则 $\sin 2 α - 2 \cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、-1 C、1 D、2

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7. 如图，边长都为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 与正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心分别为 $A_{1} ， C$ ，点 $E ， F$ 分别是 $B C ， C D$ 的中点，则 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{E C_{1}} =$ （）

A、-4 B、8 C、10 D、 $8 \sqrt{2}$

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8. 如图所示的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，则这两个顶点的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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9. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， cos A = \frac{2}{3} ， b = 2 ， c = 3.$ 则 $B C$ 边上的高为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 图象的相邻两条对称轴间的距离为 $2 π$ ，且 $f (0) = \sqrt{2}$ ，则不等式 $f (x) + 1 ⩾ 0$ 的解集为（）

A、 $[2 k π - \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$ B、 $[2 k π - \frac{π}{12} ， 2 k π + \frac{7 π}{12}] (k \in Z)$ C、 $[4 k π - \frac{5 π}{6} ， 4 k π + \frac{11 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[4 k π - \frac{π}{6} ， 4 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$

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11. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $| P F_{1} | + | P F_{2} | =$ $2 b ， | P F_{1} | | P F_{2} | = \frac{8}{3} a b$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，由美籍华人建筑师贝聿铭设计，已成为巴黎的城市地标.金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为 $a$ ，高为 $\frac{2}{3} a$ ，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为（）

A、 $\frac{17}{40} a$ B、 $\frac{5}{8} a$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{24} a$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13} a$

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二、填空题

13. 曲线 $y = 2 x^{3} - \frac{2}{x} + 1$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为.

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14. $(x^{3} - 2) {(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{6}$ 的系数为.

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15. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 焦点为 $F ， O$ 为坐标原点，直线 $l$ 过点 $F$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点，与 $x$ 轴交于 $C (2 p ， 0)$ ，若 $| A B | = 17$ ，则 $△ O C F$ 的面积为.

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16. 已知 $a \in R$ ，设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2 x}{x^{2} + 4} + a ， x \leq 1 ， \\ e x - a \ln x ， x > 1 ， \end{array}$ 若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围.

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三、解答题

17. 某社区随机选取了部分居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项)，调查结果如下表所示：

文艺活动

体育活动

男性居民

15

20

女性居民

25

10

(1)、判断能否有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；

(2)、用分层抽样方法，在样本中选择文艺活动的居民中按性别抽取8人，再从这8人中随机选3人，记这3人中男性居民的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k₀）

0.050

0.010

0.001

k₀

3.841

6.635

10.828

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18. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 5$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{3^{n}} - \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 2 A A_{1} = 4 ， E ， F$ 分别是 $B C ， A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A - E F - C$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m x (m \in R) .$

(1)、若 $f (x) > ln x$ 对任意 $x \in (1 ， 2)$ 恒成立，求 $m$ 的最大值；

(2)、若 $m = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的极值点的个数.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{15}}{2})$ ，且离心率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、设椭圆 $C$ 的左､右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $P$ 在椭圆 $C$ 外且位于第一象限，直线 $P A$ 和 $P B$ 分别交椭圆 $C$ 于另外两点 $M$ 和 $N (M ， N$ 在 $x$ 轴的异侧 $) .$ 若 $∠ M B N > 90^{\circ}$ ，求点 $P$ 的横坐标的取值范围.

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22. 在极坐标系中，曲线 $C$ 的方程为 $ρ + 4 cos (\frac{π}{2} - θ) = 0$ ，以极点为直角坐标系的原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系 $x O y .$

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程，并说明 $C$ 是什么曲线；

(2)、直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t cos α ， \\ y = - 2 + t sin α \end{array} (t$ 为参数， $0 ⩽ α < π)$ ，点 $P$ 的直角坐标为 $(1 ， - 2)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | - | P B |$ 的最大值.

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23.

(1)、设 $a ， b ， c \in R ， a + b + c = 1$ ，证明 $： a b + b c + a c ⩽ \frac{1}{3}$ ；

(2)、求满足方程 $(x^{2} + 2) (y^{2} + 8) = 16 x y$ 的实数 $x ， y$ 的值.

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	文艺活动	体育活动
男性居民	15	20
女性居民	25	10

P（K²≥k₀）	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828