浙江省绍兴市2020-2021学年高一下学期数学期末调测试卷

试卷更新日期：2021-07-16 类型：期末考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）

1. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 1 - i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 $A =$ “第一枚出现奇数点”，事件 $B =$ “第二枚出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、互斥 B、互为对立 C、相互独立 D、相等

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向 B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向 C、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$

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4. 袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{6}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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5. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，（）

A、若 $m ∥ n$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ α$ B、若 $n ⊥ α$ ， $m \subset β$ ， $n ⊥ m$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = m$ ，则 $m ⊥ γ$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n ∥ β$ ，则 $α ∥ β$

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6. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值是（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7. 若满足 $∠ A C B = 30 °$ ， $B C = 2$ 的 $△ A B C$ 有且只有一个，则边 $A B$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2)$ B、 ${1} \cup [2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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8. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，l $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{a} - \vec{b}$ 上的投影向量的模长为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{60}$ B、 $\frac{11 \sqrt{210}}{210}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{11}{6}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）

9. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z = (1 - i) i$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为-1 B、 $z$ 的共轭复数是 $1 - i$ C、 $| z | = 2$ D、 $z^{2} = 2 i$

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10. 如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，（）

A、若甲、乙射击成绩的平均数分别为 ${\bar{x}}_{1}$ ， ${\bar{x}}_{2}$ ，则 ${\bar{x}}_{1} < {\bar{x}}_{2}$ B、若甲、乙射击成绩的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数 D、乙比甲的射击成绩稳定

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $B_{1} C$ 上动点， $F$ 是 $B D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A P ∥$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ B、 $A P ⊥ B D_{1}$ C、直线 $B B_{1}$ 与平面 $B P D_{1}$ 所成角可以是 $∠ D_{1} B B_{1}$ D、二面角 $C_{1} - B D_{1} - C$ 的平面角是 $∠ C_{1} F C$

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12. 在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $A C$ 的中点，且 $B C = 6$ ， $A D = 2$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 面积最大值是12 B、 $\cos B \geq \frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $| \vec{A D} + \vec{B E} |$ 不可能是5 D、 $\vec{B E} \cdot \vec{A C} \in (\frac{11}{2} ， \frac{35}{2})$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是．

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值是．

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15. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在

R

软件的控制平台，输入“

sample

（0：999，20，

replace = F

）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．

> $sample$ （0：999，20， $replace = F$ ）

[1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543

[11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62

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16. 已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长均为4，点 $O$ 满足 $O A = O B = O C = O D$ ，则以 $O$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球与四面体 $A B C D$ 表面所得交线总长度为．

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四、解答题（本大题共6小题，共52分．）

17. 已知向量 $\vec{a} = (m - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ．
（Ⅰ）若 $m = 0$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

（Ⅱ）若 $| \vec{a} + \vec{b} | = 5$ ，求实数 $m$ 的值．

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 3$ ， $A C_{1} = \sqrt{34}$ ．

（Ⅰ）求长方体的表面积；

（Ⅱ）若 $E$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点，求四棱锥 $E - B B_{1} C_{1} C$ 的体积．

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19. 甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次击中目标的概率为 $\frac{3}{4}$ ．
（Ⅰ）求甲两次都没有击中目标的概率；

（Ⅱ）在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．

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20. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；

（Ⅱ）在区间 $[40 ， 50)$ 和 $[90 ， 100]$ 内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；

（Ⅲ）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．

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21. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 c - a = 2 b \cos A$ ， $b = 3$ ．
（Ⅰ）求 $B$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

（Ⅲ）求 $\frac{a c}{a + c}$ 的最大值．

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22. 如图，四棱台 $A B C D - E F G H$ 的底面是矩形， $E H = D H = 1$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ， $A D ⊥ D H$ ．

（Ⅰ）证明： $B C ⊥$ 平面 $D C G$ ；

（Ⅱ）设平面 $D B G$ 与平面 $A D H E$ 的交线为 $l$ ，求直线 $l$ 与平面 $B C G$ 所成角的正弦值的取值范围．

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