初中数学华师大版九年级上学期第22章22.2一元二次方程的解法同步练习

试卷更新日期：2021-07-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 方程 $x^{3} - 4 x = 0$ 的解是（）

A、2或0 B、±2或0 C、2 D、－2或0

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2. 用下列哪种方法解方程3（x﹣2）²＝2x﹣4比较简便（）

A、直接开平方 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ B、 $a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a < \frac{1}{4}$ 且 $a \neq - 2$ D、 $a < \frac{1}{4}$

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4. 已知方程 $x^{2} - 2021 x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - \frac{2021}{x_{2}}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2021 D、-2021

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5. 对于实数 $a ， b$ 定义运算“☆”如下： $a ☆ b = a b^{2} - a b$ ，例如 $3 ☆ 2 = 3 \times 2^{2} - 3 \times 2 = 6$ ，则方程 $1 ☆ x = 2$ 的根的情况为（）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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6. 用配方法解方程x²+4x+1＝0时，配方结果正确的是（）

A、（x﹣2）²＝5 B、（x﹣2）²＝3 C、（x+2）²＝5 D、（x+2）²＝3

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7. 关于x的一元二次方程x²-mx+m-2=0的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、没有实数根 D、m不确定，所以无法判断

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8. 菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A、16 B、12 C、12或16 D、无法确定

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9. 对于两个不相等的实数 $a ， b$ ，我们规定符号 $max {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中较大的数，如 $\max {2 ， 4} = 4$ ，按这个规定，方程 $\max {x ， - x} = \frac{2 x + 1}{x}$ 的解为（）

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2} 或 1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$ 或-1

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10. 有两个一元二次方程M：ax²＋bx＋c=0，N：cx²＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论：① 如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等实数根；② 如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数；③ 如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1；④ 如果M的两根符号相同，那么N的两根符号也相同；其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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二、填空题

11. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 5 = 0$ 有一根是 $x = - 1$ ，则另外一根是.

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12. 若关于x的一元二次方程x²-2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是

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13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k + 1 = 0$ 的两个实数根是 $x_{1} ， x_{2}$ ，那么 $- x_{1} - x_{2} - {(x_{1} x_{2})}^{2}$ 的最大值是．

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14. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为

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15. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 $\frac{2 n}{m}$ 的值为.

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16. 若关于x的方程（x﹣4）（x²﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为．

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17. 已知（x﹣2016）²+（x﹣2018）²=80，则（x﹣2017）²= ．

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三、计算题

18. 解方程：(x-1)(2x+3)=(2x+3)．

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19. 先化简，再求值：
$(a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2} - (2 a^{2} - a b)$ ，其中a，b是一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ 的两个实数根.

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四、解答题

20. 解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ．小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），

方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，

小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．

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21. 若关于x的一元二次方程x²﹣4x+k﹣3=0的两个实数根为x₁、x₂ ，且满足x₁=3x₂ ，试求出方程的两个实数根及k的值．

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22. 已知： $α$ ， $β$ （ $α$ ＞ $β$ ）是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，设 $s_{1} = α + β$ ， $s_{2} = α^{2} + β^{2}$ ， …， $s_{n} = α^{n} + β^{n}$ ．根据根的定义，有 $α^{2} - α - 1 = 0$ ， $β^{2} - β - 1 = 0$ ，将两式相加，得 $(α^{2} + β^{2}) - (α + β) - 2 = 0$ ，于是，得 $s_{2} - s_{1} - 2 = 0$ ．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求 $α$ ， $β$ 的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出 $s_{1}$ ， $s_{2}$ 的值．

②猜想：当n≥3时， $s_{n}$ ， $s_{n - 1}$ ， $s_{n - 2}$ 之间满足的数量关系，并证明你的猜想的符合题意性．

(注：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 若有两根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ； x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ )

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五、综合题

23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} - (m + 1) x + 1 = 0 (m \neq 0)$ ．

(1)、求证：此方程总有实数根；

(2)、写出一个 $m$ 的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．

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