重庆市七校2020-2021学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-07-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z = (3 + i) i$ ，则复平面内与复数 $z$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{20}$ ，其均值和方差分别为 $\bar{x}$ 和 $s^{2}$ ，若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（）

A、 $\bar{x}$ ， $s^{2} + 200^{2}$ B、 $\bar{x} + 200$ ， $s^{2} + 200^{2}$ C、 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ D、 $\bar{x} + 200$ ， $s^{2}$

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3. 某校高一 (1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，现甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $\frac{13}{15}$

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4. 在圆O中弦AB的长度为8，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A B}$ =（）

A、8 B、16 C、24 D、32

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5. 在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为DC上靠近C点处的三等分点，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \vec{A D}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} - \vec{A D}$

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6. 已知两条不同的直线 $l ， m$ 和两个不同的平面 $α ， β$ ，下列四个命题中错误的为（）

A、若 $m ⊥ β$ ， $n ⊥ β$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ B、若 $m // β$ ， $β ⊥ α$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $α \cap β = m$ ， $l // α$ 且 $l // β$ ，则 $l // m$ D、若 $α / / β ， m \subset α$ ，那么 $m / / β$

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7. 已知在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，且 $A B = 3 ， A D = A A_{1} = 4$ ，若M是 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线A₁M与AD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{29}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{29}$ C、 $\frac{4 \sqrt{29}}{29}$ D、 $\frac{2 \sqrt{29}}{29}$

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8. 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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二、多选题

9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A、事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 B、事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件 C、事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件 D、事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件

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10. 下列结论正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $A > B$ 是 $\sin A > \sin B$ 充要条件 B、在 $△ A B C$ 中， $2 \cos B \sin A = \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 C、在 $△ A B C$ 中， $a \cos A = c \cos C$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、在 $△ A B C$ 中， $b^{2} = a c$ ，且 $2 \sin B = \sin A + \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为正三角形

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱CC₁的中点，则下列说法正确的是（）

A、DC $/ /$ 平面AD₁E B、 $B_{1} C$ ⊥平面AD₁E C、直线AE与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、平面AD₁E截正方体所得截面为等腰梯形

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12. 关于复数 $z = x + y i (x ， y \in R) ，$ 下列说法正确的是（）

A、 $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ B、若 $| z - 2 i | = 2$ 则 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ C、若 $z i$ 为纯虚数，则 $x \neq 0 ， y = 0$ D、 $| z | \geq \frac{\sqrt{2}}{2} (| x | + | y |)$

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三、填空题

13. 已知i是虚数单位，则 $\frac{2 - i}{4 + 3 i} =$ ．

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14. 为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人．在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从O型血中抽取的人数为．

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15. 若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ， SA= $3$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B A C = 45 °$ 则球O的表面积

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 2$ ，且 $| 3 \vec{A B} + 2 \vec{A C} | = 10$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 5 ， | \vec{b} | = 2 ， (\vec{a} - 2 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 27$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{3 a} - \vec{b} |$ .

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18. 已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且 $c \sin (B + C - A) = a \sin (A + B)$ .

(1)、求角A的值；

(2)、若 $\sin B = 2 \sin C$ ，且△ABC的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求△ABC的周长.

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19. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为4的菱形， $P A ⊥$ 平面ABCD ， $P A = 3 ， ∠ A B C = 60^{\circ}$ ，E是BC中点，若H为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $E H / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求E点到平面PAB的距离.

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20. 我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40 ， 50)$ ，第2组 $[50 ， 60)$ ，第3组 $[60 ， 70)$ ，第4组 $[70 ， 80)$ ，第5组 $[80 ， 90)$ ，第6组 $[90 ， 100]$ ，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)、从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；

(3)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.

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21. 如图1，在平行四边形ABCD中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = 2$ ， $A B = 4$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得平面 $A^{'} B C ⊥$ 平面 $A^{'} B D$ ，如图2．

(1)、证明：平面 $A^{'} D B ⊥$ 平面BCD；

(2)、在线段 $A^{'} C$ 上是否存在点M ，使得二面角 $M - B D - C$ 的大小为45°？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由.

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22. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $\vec{B D} = λ \vec{B C} (0 < λ < 1)$ 且 $A D = 2 ， ∠ B A C = \frac{π}{2} .$

(1)、当 $∠ B A D = \frac{π}{4}$ 时，求 $△ A B C$ 面积的最小值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积不小于 $2 \sqrt{3}$ ，求 $∠ B A D$ 的取值范围.

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