山东省潍坊市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， - 4)$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{5}{4}$

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2. 在复平面内，若复数 $z = 3 - 2 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为 $y = A \sin ω t$ （其中 $A > 0$ ， $t$ 表示时间， $y$ 表示纯音振动时音叉的位移）．图2是该函数在一个周期内的图像，根据图中数据可确定 $A$ 和 $ω$ 的值分别为（）

A、 $\frac{1}{500}$ 和 $800 π$ B、 $\frac{1}{500}$ 和 $400 π$ C、 $\frac{1}{1000}$ 和 $800 π$ D、 $\frac{1}{1000}$ 和 $400 π$

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4. 若 $a = \sin \frac{π}{12}$ ， $b = \log_{2} (\sin \frac{π}{12})$ ， $c = \tan \frac{π}{12}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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5. 已知水平放置的四边形 $O A B C$ 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中 $O^{'} A^{'} // B^{'} C^{'}$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ， $O^{'} A^{'} = 1$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则原四边形 $O A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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6. 设 $α$ 为锐角，若 $\cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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7. 南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边．若 $a c = 4$ ， $B = 60^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 $400$ 米，一艘船从河岸的 $A$ 地出发，向河对岸航行．已知船的速度 $\vec{v_{1}}$ 的大小为 $| \vec{v_{1}} | = 8 km/h$ ，水流速度 $\vec{v_{2}}$ 的大小为 $| \vec{v_{2}} | = 2 km/h$ ，船的速度与水流速度的合速度为 $\vec{v}$ ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

A、船头方向与水流方向垂直 B、 $\cos < \vec{v_{1}} ， \vec{v_{2}} > = - \frac{1}{4}$ C、 $| \vec{v} | = 2 \sqrt{17} km/h$ D、该船到达对岸所需时间为 $3$ 分钟

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二、多选题

9. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”．若复数 $z = a + i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位）为“等部复数”，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 1$ B、 $| z | = 1$ C、 $\bar{z} = 1 - i$ D、复数 $(a - 1) + (a^{2} - 1) i$ 是纯虚数

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10. 如图，若 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 为正六棱台，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 与 $C_{1} D_{1}$ 是异面直线 B、直线 $A B$ 与 $D_{1} E_{1}$ 平行 C、线段 $B B_{1}$ 与 $F F_{1}$ 的延长线相交于一点 D、点 $F_{1}$ 到底面 $A B C D E F$ 的距离大于点 $B_{1}$ 到底面 $A B C D E F$ 的距离

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11. 如图，已知点 $G$ 是边长为1的等边 $△ A B C$ 内一点，满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，过点 $G$ 的直线 $l$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ．设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A G} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心 C、 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = 2$ D、 $| \vec{A G} | = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 满足 $f (\frac{5 π}{8} - x) = f (\frac{5 π}{8} + x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{12})$ 的图像 C、若 $ω > 0$ 时，函数 $f (ω x)$ 在区间 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减，则实数 $ω$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{1}{8}]$ D、函数 $y = f (x) + f (2 x - \frac{π}{8})$ 的值域为 $[- \frac{9}{8} ， 2]$

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三、填空题

13. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1 ， m)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3 ， - 2)$ ， $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 能够说明“设 $α \in (0 ， π)$ ， $β \in (0 ， π)$ ，若 $α > β$ ，则 $\sin α > \sin β$ ”是假命题的一组角 $α$ ， $β$ 的值依次为．

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15. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ 与 $D$ ．现测得 $∠ B C D = 75 °$ ， $∠ B D C = 60 °$ ， $C D = 10 \sqrt{2} m$ ，并在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角 $θ$ 为 $30 °$ ，则塔高 $A B$ 为m．

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16. 如图，已知圆锥 $P O$ 的底面半径 $O A$ 的长度为1，母线 $P A$ 的长度为2，半径为 $R_{1}$ 的球 $O_{1}$ 与圆锥的侧面相切，并与底面相切于点 $O$ ，则 $R_{1} =$ ；若球 $O_{2}$ 与球 $O_{1}$ 、圆锥的底面和侧面均相切，则球 $O_{2}$ 的表面积为．

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 3 + 4 i$ ．

(1)、求 $z_{1} + z_{2}$ 和 $z_{1} z_{2}$ 的值；

(2)、若 $z_{1} = 1 + i$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m$ ， $n$ 的值．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，_______________，
从① ${(b + c)}^{2} - a^{2} = 3 b c$ ，② $a \sin B = b \sin (A + \frac{π}{3})$ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积 $S = 6 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的高是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 高的 $\frac{1}{2}$ ，且底面正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A A_{1} = 2$ ．

(1)、求 $A C_{1}$ 的长及该长方体的外接球的体积；

(2)、求正四棱锥的斜高和体积．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $b = 2 \sqrt{6}$ ， $\sqrt{3} \sin B - 2 \cos^{2} \frac{B}{2} = 1$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小及 $△ A B C$ 外接圆的半径 $R$ 的值；

(2)、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的内角平分线，当 $△ A B C$ 面积最大时，求 $A D$ 的长．

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21. 如图1，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 5 k$ ， $A C = 8 k$ ， $A A_{1} = \frac{2}{k} (k > 0)$ ， $D$ ， $D_{1}$ 分别为 $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，平面 $B B_{1} D_{1} D$ 将三棱柱分成两个新的直三棱柱（如图2，3所示）．

(1)、若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数 $k$ 的值；

(2)、将图2和图3两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 已知向量 $\vec{m} = (\sin 2 x ， \cos 2 x)$ ， $\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式和单调递增区间；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $f (A) = 1$ ， $b = 2$ ， $a \in [\frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ ，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；

(3)、若 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{2 π}{6}]$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x + \frac{π}{6}) + (λ + 1) \sin x = λ$ 恰有三个不同的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，求实数 $λ$ 的取值范围及 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的值．

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