湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期期末数学试题

试卷更新日期：2021-07-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} - 5 x + 6 > 0}$ ， $B = {x ∣ \log_{2} (x - 1) > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $(2 ， 3)$

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2. $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ 的共轭复数的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. 已知 $a = 2^{0.5}$ ， $b = {0.5}^{2}$ ， $c = \log_{0.5} 2$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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4. 已知等边三角形ABC的边长为1， $\overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{C A} = \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{c}$ ，那么 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{b} \cdot \overset{⇀}{c} + \overset{⇀}{c} \cdot \overset{⇀}{a} =$ （）

A、3 B、-3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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5. 设 $α$ 是空间中的一个平面， $l$ ， $m$ ， $n$ 是三条不同的直线，则（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l / / m$ ， $m / / n$ ， $l ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $l / / m$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $l ⊥ n$ D、若 $m \subset α$ ， $n ⊥ α$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l / / m$

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；

② $f (\frac{π}{2})$ 是 $f (x)$ 的最大值；

③把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．

其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①③ C、②③ D、①②③

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7. 已知正数x ， y满足： $\frac{1}{x} + \frac{3}{y + 2} = 1$ ，则x＋y的最小值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $2 + 2 \sqrt{3}$ C、6 D、 $6 + 2 \sqrt{3}$

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8. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 的中点，点 $F$ 为边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{D E} \cdot \vec{D F}$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{3}{2}]$ B、 $[1 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\sqrt{3} ， 3]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3}]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的必要不充分条件 B、用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 C、若两个平面互相垂直，则过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 D、在 $△ A B C$ 中， $A > B$ 是 $\sin A > \sin B$ 的充要条件

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10. 已知 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其函数图象关于直线 $x = - 3$ 对称且 $f (x + 3) = f (x - 3)$ ，当 $x \in [0 ， 3]$ 时， $f (x) = 2^{x} + 2 x - 11$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[- 6 ， - 3]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 关于 $x = 3$ 对称 D、 $f (2021) = - 7$

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11. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列四个命题正确的是（）

A、直线 $B C$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{3}$ B、点 $A_{1}$ 到面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、三棱柱 $A A_{1} D_{1} - B B_{1} C_{1}$ 外接球表面积为 $3 π$

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三、填空题

13. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 的坐标为．

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14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 $30 π$ ，则该圆锥的表面积为．

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15. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (3 ， 4)$ ，则 $\tan (2 α + \frac{π}{4})$ 的值为．

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16. 我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程 $p x^{2} = q$ 中，p为“隅”，q为“实”．即若 $△ A B C$ 的大斜、中斜、小斜分别为a ， b ， c ，则 $S^{2} = \frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]$ .已知点D是 $△ A B C$ 边AB上一点， $A C = 3$ ， $B C = 2$ ， $∠ A C D = 45^{°}$ ， $\tan ∠ B C D = \frac{8 + \sqrt{15}}{7}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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四、解答题

17. 在复平面内，复数 $z = a^{2} - a - 2 + (a^{2} - 3 a - 4) i$ （其中 $a \in R$ ．

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求 $a$ 的值：

(2)、对应的点在第四象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ．

(1)、求 $| 2 \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求实数 $k$ 的值．

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19. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 中 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b = 6$ ， $c o s A = - \frac{1}{3}$ ．

(1)、求 $c$ ：

(2)、求 $c o s 4 B$ 的值．

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20. 新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在

[80 ， 100]

的居民有900人．

满意度评分	$[40 ， 60)$	$[60 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
满意度等级	不满意	基本满意	满意	非常满意

(1)、求频率分布直方图中

a

的值及所调查的总人数：

(2)、定义满意度指数

η =

（满意程度的平均分）/100，若

η < 0.8

，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？

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21. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) + \sin (x - \frac{π}{6}) + \cos x + a$ 的最大值为1，

(1)、求常数 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求使 $f (x) ⩾ 0$ 成立的x的取值集合.

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22. 如图所示，在 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1， $D$ 是 $A C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

（Ⅱ）求直线 $A B_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角 $A - B D - A_{1}$ 的大小.

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