广西玉林市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 关于x的不等式 $(x - 1) (x + 1) \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $[- 1 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $[- 1 ， 1]$

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2. 已知数列1， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{7}$ ，…， $\sqrt{2 n - 1}$ ，…，则 $5 \sqrt{5}$ 是它的（）

A、第62项 B、第63项 C、第64项 D、第65项

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3. 直线 $y = \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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4. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ D、若 $m // α$ ， $m // β$ ，则 $α // β$

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5. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 6$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0$ ，若 $a_{3}$ ， $a_{15}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 2 = 0$ 的根，则 $\frac{a_{2} a_{16}}{a_{9}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$

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8. 如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{31}{6} π$ B、 $\frac{16}{3} π$ C、 ${a_{n}}$ D、 $\frac{35}{6} π$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，第2项为3，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，当整数 $n > 1$ 时， $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 (S_{n} + S_{1})$ 恒成立，则 $S_{15}$ 等于（）

A、 $210$ B、 $211$ C、 $224$ D、 $225$

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10. 已知 $△ A B C$ 为圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的内接等边三角形，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，将 $△ A D E$ ， $△ C D F$ ， $△ B E F$ 分别沿 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ 折起，使 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合于点 $P$ .则二面角 $P - E F - D$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 设 $P$ 为直线 $l$ ： $x + 2 y - 5 = 0$ 的一个动点，过 $P$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点为 $A$ ， $B$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5} - 3$ C、 $2 \sqrt{2} - 3$ D、0

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二、填空题

13. 圆心为 $(- 1 ， 2)$ ，半径为2的圆的标准方程为.

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14. 已知 $△ A B C$ 三个顶点的直角坐标为分别为 $A (0 ， 2)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ ，则 $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在的直线方程为.

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15. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $D A = D B = C A = C B = 1$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $10 \sin A - 5 \sin C = 2 \sqrt{6}$ ， $\cos B = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的值为.

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三、解答题

17. 已知两直线 $l_{1}$ ： $2 m x + (3 - m) y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $2 x + 2 m y + m = 0$ .

(1)、求 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 平行时 $m$ 的值；

(2)、求 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 垂直时 $m$ 的值.

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18. 在锐角 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且 $\sqrt{3} b = 2 c \sin B$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{6}$ ，且 $a + b = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为 $400$ 万元，每生产 $x$ 万箱，需另投入成本 $p (x)$ 万元，当产量不足 $60$ 万箱时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 50 x$ ；当产量不小于 $60$ 万箱时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 1860$ ，若每箱口罩售价 $100$ 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

(1)、求口罩销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万箱）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $P B = P D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $P A$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $∠ D A B = ∠ P A C = 60 °$ ， $∠ A P C = 90 °$ ，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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21. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 13$ ，公差 $d$ 为整数，且 $a_{5} \geq 0$ ， $a_{6} \leq 0$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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22. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，点 $A (m ， - 1) ， B (m + 4 ， 2)$ ，其中 $m \in R$ ．

(1)、若直线 $A B$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 $M A ⊥ M B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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