河北省五校2020-2021学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-07-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x ， y) ∣ x ， y \in N ， y < x}$ ， $B = {(x ， y) ∣ x + y = 6}$ ，则 $A \cap B$ 中的元素个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 设向量 $\vec{a} = (\sqrt{2} \sin 2 θ ， \frac{1}{2} \cos θ)$ ， $\vec{b} = (\cos θ ， \frac{1}{2})$ ，则“ $\vec{a} // \vec{b}$ ”是“ $\tan θ = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ”成立的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $P$ 是△ $A B C$ 边 $B C$ 上的任意一点， $Q$ 为 $A P$ 上靠近 $A$ 的三等分点，若 $\vec{A Q} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 ， x \geq 0 \\ 1 ， x < 0 \end{matrix}$ ，则不等式 $f (x) \geq x^{2} - 1$ 的解集为（）

A、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 \leq x \leq 1}$ C、 ${x | - \sqrt{2} \leq x \leq 1}$ D、 ${x | - \sqrt{2} \leq x \leq 2}$

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5. 随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是2014年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（）

①2015年至2020年，中国雪场滑雪人次逐年减少；②2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；③2020年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；④2020年与2018年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%

A、②④ B、①② C、②③ D、①④

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6. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递减，则（）

A、 $f (\log_{3}^{4}) < f (2^{- 0.4}) < f (\log_{\frac{1}{2}}^{3})$ B、 $f (\log_{3}^{4}) < f (\log_{\frac{1}{2}}^{3}) < f (2^{- 0.4})$ C、 $f (\log_{\frac{1}{2}}^{3}) < f (\log_{3}^{4}) < f (2^{- 0.4})$ D、 $f (2^{- 0.4}) < f (\log_{3}^{4}) < f (\log_{\frac{1}{2}}^{3})$

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7. 面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信心.各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著提升.同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师.经协商，现安排甲、乙、丙等5位医师前往 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个接种点进行答疑解惑，每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去 $C$ 地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共（）

A、120种 B、54种 C、336种 D、80种

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8. 已知双曲线 $Γ ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的上下焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且垂直于 $y$ 轴的直线与该双曲线的上支交于 $A$ ， $B$ 两点， $A F_{2}$ ， $B F_{2}$ 分别交 $x$ 轴于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $△ P Q F_{2}$ 的周长为12，则 $a b$ 取得最大值时，双曲线Γ的渐近线方程为（）

A、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ B、 $x \pm y = 0$ C、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ D、 $\sqrt{3} x \pm \sqrt{2} y = 0$

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二、多选题

9. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $S_{3} = \frac{7}{8}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} \leq \frac{1}{2}$ B、 $a_{n} \geq \frac{1}{2}$ C、 $S_{n} < 1$ D、 $2 \lg a_{n} = \lg a_{n - 2} + \lg a_{n + 2} (n \geq 3)$

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10. 已知 $(3 + x) {(1 - x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 3$ B、 $a_{4} = 1$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 3$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 16$

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11. （多选题）在如图所示的几何体中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B G$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 均与底面 $A B C D$ 垂直，且 $A A_{1} = C C_{1} = D D_{1} = 2 B G = 2$ ，点 $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 B、三棱锥 $G - A C D$ 的外接球的表面积是 $3 π$ C、点 $C_{1}$ 到平面AEF的距离为 $\frac{2}{3}$ D、若点 $P$ 在线段 $A D_{1}$ 上运动，则异面直线 $E F$ 和 $C P$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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12. 已知定义在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (\frac{1}{x})$ ，且当 $x \in [\frac{1}{e} ， 1]$ 时， $f (x) = x \ln x + 1$ ，若方程 $f (x) - \frac{1}{3} x - a = 0$ 有两个不同的实数根，则实数 $a$ 可以是（）

A、 $1 - e^{- \frac{1}{2}}$ B、 $1 - e^{- \frac{2}{3}}$ C、 $1 - \frac{4}{3 e}$ D、 $1 - \frac{1}{e}$

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三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $\frac{1}{1 - z} = i$ ，则复数 $z$ 的共轭复数在复平面内对应的点位于第象限.

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14. 已知圆 $C$ 的圆心 $C (0 ， m)$ ，其中 $m > 0$ ，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切且半径为1，直线 $l$ 过 $(- 2 ， 0)$ 点且倾斜角为45°，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15. 已知 $θ$ 为常数， $x \in R$ ，函数 $f (x) = \sin (x - θ) - \cos x$ 的最大值为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\cos 2 θ$ 的值为.

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16. 设 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C：y = \frac{x^{2}}{4}$ 焦点坐标为，过 $N (0 ， 2)$ 的直线与抛物线的第一象限的交点为 $M$ ，若点 $Q$ 满足 $\vec{M N} = 4 \vec{M Q}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最小值.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，且向量 $\vec{m} = (1 ， \sin B)$ 与 $\vec{n} = (\sin C ， - 2)$ 垂直，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{6} = 63$ ， $a_{4}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、从① $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，② $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ 这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答：数列 ${b_{n}}$ 满足 ▲ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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19. 九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球.

(1)、求经过3次传球，球回到甲的手里的概率；

(2)、求经过 $n (n \in N)$ 次传球，球回到甲手里的概率 $P_{n}$ .

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20. $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = B C = 2$ ， $∠ B = \frac{π}{2} ， D ， E$ ，分别为边 $A B ， A C$ 的中点，将三角形 $A D E$ 沿 $D E$ 折起，使 $A$ 到达 $P$ 点，且 $P C = \sqrt{5}$ ， $O$ 为 $B D$ 中点.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面 $B C E D$ .

(2)、求二面角 $B - P E - C$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $E (1 ， \frac{3}{2})$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为椭圆的左右顶点，且直线 $A_{1} E$ ， $A_{2} E$ 的斜率的乘积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过左焦点F的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，线段 $M N$ 的垂直平分线交直线 $l$ 于点 $P$ ，交直线 $x = 4$ 于点 $Q$ ，求 $\frac{| P Q |}{| M N |}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - x) \ln x$ ， $x > \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、存在 $x_{0} > \frac{1}{2}$ ，使得 $(x_{0}^{3} - x_{0}^{2}) \ln x_{0} \leq a x_{0} - {(x_{0} - 1)}^{2} - e^{x_{0}}$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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