青海省2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-15 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 若 $a = - 2 \frac{1}{3}$ ，则实数 $a$ 在数轴上对应的点的位置是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 一个两位数，它的十位数字是 $x$ ，个位数字是 $y$ ，那么这个两位数是（）．

A、 $x + y$ B、 $10 x y$ C、 $10 (x + y)$ D、 $10 x + y$

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3. 已知 $a$ ， $b$ 是等腰三角形的两边长，且a，b满足 $\sqrt{2 a - 3 b + 5} + {(2 a + 3 b - 13)}^{2} = 0$ ，则此等腰三角形的周长为（）．

A、8 B、6或8 C、7 D、7或8

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4. 如图所示的几何体的左视图是（）．

A、 B、 C、 D、

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5.
如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A、7.5 B、8 C、15 D、无法确定

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6. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于 $A$ ， $B$ 两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米， $A B = 16$ 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．

A、1.0厘米/分 B、0.8厘米分 C、12厘米/分 D、1.4厘米/分

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7. 如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊 $A$ （羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米.

A、 $\frac{17}{12} π$ B、 $\frac{17}{6} π$ C、 $\frac{25}{4} π$ D、 $\frac{77}{12} π$

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8. 新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S₁、S₂分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的一个根，则代数式 $m^{2} + m$ 的值等于．

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10. 5月11日，第七次人口普查结果发布．数据显示，全国人口共14.1178亿人，同2010年第六次全国人口普查数据相比，我国人口10年来继续保持低速增长态势．其中数据“14.1178亿”用科学记数法表示为．

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11. 已知单项式 $2 a^{4} b^{- 2 m + 7}$ 与 $3 a^{2 m} b^{n + 2}$ 是同类项，则m+n= ．

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12. 已知点 $A (2 m - 5 ， 6 - 2 m)$ 在第四象限，则m的取值范围是．

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13. 已知点 $A (- 1 ， y_{1})$ 和点 $B (- 4 ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是．

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14. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是.

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15. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm² ， ∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为．

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16. 点 $P$ 是非圆上一点，若点 $P$ 到 $⊙ O$ 上的点的最小距离是 $4 c m$ ，最大距离是 $9 c m$ ，则 $⊙ O$ 的半径是．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 的中点，若 $△ D E F$ 的周长为10，则 $△ A B C$ 的周长为．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $B D = 8 cm$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $E$ ，且 $A E = 3 cm$ ， $B C = 4 cm$ ，则 $A D$ 与 $B C$ 之间的距离为．

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为8， $M$ 是 $D C$ 边上一点，且 $D M = 2$ ， $N$ 是对角线 $A C$ 上一动点，则 $D N + M N$ 的最小值为.

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20. 观察下列各等式：① $2 \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{2 + \frac{2}{3}}$ ；② $3 \sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{3 + \frac{3}{8}}$ ；③ $4 \sqrt{\frac{4}{15}} = \sqrt{4 + \frac{4}{15}}$ …根据以上规律，请写出第5个等式：．

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三、解答题

21. 先化简，再求值： $(a - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a}$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

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22. 如图， $D B$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图（请用2B铅笔）：作线段 $B D$ 的垂直平分线 $E F$ ，交 $A B$ ， $D B$ ， $D C$ 分别于 $E$ ， $O$ ， $F$ ，连接 $D E$ ， $B F$ （保留作图痕迹，不写作法）．

(2)、试判断四边形 $D E B F$ 的形状并说明理由．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $M N ⊥ A C$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $B G ⊥ M N$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ B G D ∽ △ D M A$ ；

(2)、求证：直线 $M N$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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24. 如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $A D = 2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $A B = C D$ ），将左边的门 $A B B_{1} A_{1}$ 绕门轴 $A A_{1}$ 向里面旋转 $35 °$ ，将右边的门 $C D D_{1} C_{1}$ 绕门轴 $D D_{1}$ 向外面旋转 $45 °$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据 $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）．

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25. 为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：

月平均用水量（吨）	3	4	5	6	7
频数（户数）	4	$a$	9	10	7
频率	0.08	0.40	$b$	$c$	0.14

请根据统计表中提供的信息解答下列问题：

(1)、填空：a= ， b= ， c= ．

(2)、这些家庭中月平均用水量数据的平均数是，众数是，中位数是．

(3)、根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户？

(4)、市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙丙丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率，并列出所有等可能的结果．

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26. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作 $60 ° ， 30 ° ， 15 °$ 等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展开（如图13-1）．

第二步：再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N$ （如图13-2）．

(1)、猜想论证：
若延长 $M N$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，如图13-3所示，试判定 $△ B M P$ 的形状，并证明你的结论．

(2)、拓展探究：
在图13-3中，若 $A B = a ， B C = b$ ，当 $a ， b$ 满足什么关系时，才能在矩形纸片 $A B C D$ 中剪出符（1）中的等边三角形 $B M P$ ？

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27. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = x + 2$ 与坐标轴交于 $A ， B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1 ， 0)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A ， B ， C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、根据图象写出不等式 $a x^{2} + (b - 1) x + c > 2$ 的解集；

(3)、点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $A B$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点，当 $P Q = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求P点的坐标．

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