天津市东丽区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $z = 2 - 3 i$ 的虚部为（）

A、－3 B、3 C、2 D、 $- 3 i$

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2. 掷两枚质地均匀股子，设A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现偶数点”则A与B的关系为（）

A、互斥 B、相互独立 C、互为对立 D、相等

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3. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}$ 共线，则 $λ =$ （）

A、2 B、-2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{13}$ ， $b = 4$ ， $c = 3$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 有一个三位数字的密码锁，每位上的数字在0到9这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人在开锁时，在对好前两位数字后随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（）

A、 $\frac{1}{10^{3}}$ B、 $\frac{1}{10^{2}}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{10^{4}}$

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6. 若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{10} - 1$ 的标准差为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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7. 在平行四边形ABCD中， $A D = 1$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，E为CD的中点，若 $\vec{A C} \cdot \vec{B E} = 1$ ，则AB的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、2

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8. 在空间中，下列命题正确的是（    ）
①平行于同一条直线的两条直线平行；    ②垂直于同一条直线的两条直线平行；

③平行于同一个平面的两条直线平行；    ④垂直于同一个平面的两条直线平行．

A、①③④ B、①④ C、① D、①②③④

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9. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E、F分别为棱AD、BC的中点，则平面 $C_{1} D_{1} E F$ 与底面ABCD所成的二面角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

10. 若 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{1 - 7 i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ .

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11. 若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为.

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12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，其中| $\vec{a}$ |= $\sqrt{3}$ ，| $\vec{b}$ |=2，且（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角是．

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13. 小明爸爸开车以80km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点A处望见电视塔P在北偏东30°方向上，15分钟后到点B处望见电视塔在北偏东75°方向上，则汽车在点B时与电视塔P的距离是km.

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14. 样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是．

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15. 如图，若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则异面直线AC与 $A_{1} B$ 所成的角的大小是；直线 $A_{1} B$ 和底面ABCD所成的角的大小是．

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三、解答题

16. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ .

(1)、求2个人都译出密码的概率；

(2)、求2个人都译不出密码的概率；

(3)、求至多1个人都译出密码的概率；

(4)、求至少1个人都译出密码的概率.

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17. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, k)$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ， $\vec{c} = (1, \sqrt{3})$ .
（Ⅰ）若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，求k的值；

（Ⅱ）当 $k = 1$ 时， $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $λ$ 的值；

（Ⅲ）若 $| \vec{m} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $150 °$ ，求 $| \vec{m} + 2 c |$ .

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18. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中a的值；

(2)、由频率分布直方图；
（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

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19. 在△ABC中， $\sqrt{3}$ acosB＝bsinA．

(1)、求∠B；

(2)、若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} A ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $△ A B C$ 为正三角形， $A_{1} A = A B = 6$ ， $D$ 为 $A C$ 中点．

(1)、求证：直线 $A B_{1} ∥$ 平面 $B C_{1} D$ ．

(2)、求证：平面 $B C_{1} D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

(3)、求三棱柱 $C_{1} - B C D$ 的体积．

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