山西省2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 - 2 i$ ，则 $z (\bar{z} + 2 i) =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $9 + 2 i$ C、 $7 - 4 i$ D、 $1 + 2 i$

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2. 将圆锥的高缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，底面半径扩大到原来的2倍，则圆锥的体积（）

A、缩小到原来的一半 B、缩小到原来的 $\frac{1}{6}$ C、不变 D、扩大到原来的2倍

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3. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数 $y = x^{2}$ ， $x \in [1 ， 2]$ 与函数 $y = x^{2}$ ， $x \in [- 2 ， - 1]$ 即为“同族函数”.下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = e^{x} - e^{- x}$ D、 $y = \ln x$

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4. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{8}$ ，则密码能被译出的概率是（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{21}{32}$ C、 $\frac{21}{64}$ D、 $\frac{43}{64}$

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5. 数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{9}$ 的平均数为4，标准差为2，则数据 $3 x_{1} + 2$ ， $3 x_{2} + 2$ ，…， $3 x_{9} + 2$ 的方差和平均数分别为（）

A、36，14 B、14，36 C、12，19 D、4，12

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6. 设 $λ$ 为实数，已知向量 $\vec{m} = (2 ， 1 - λ)$ ， $\vec{n} = (2 ， 1)$ .若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m} - \vec{n}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 若 $P (A B) = \frac{1}{6}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则事件A与B的关系是（）

A、互斥 B、相互独立 C、互为对立 D、无法判断

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8. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ )的部分图象，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $y = f (x - \frac{π}{3})$ 为奇函数

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9. 若定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，且 $f (- \frac{π}{2}) = 0$ ，则下列取值范围中的每个x都能使不等式 $f (x + \frac{π}{2}) \cdot \cos x \geq 0$ 成立的是（）

A、 $[- 2 π ， - π]$ B、 $[- π ， 0]$ C、 $[0 ， π]$ D、 ${x | x = \frac{k π}{2} ， k \in Z}$

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10. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $A B = A A_{1}$ ， $D$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中一点，点 $F$ 在 $B B_{1}$ 上，记 $B_{1} F = λ B F$ ，若 $A B_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} D F$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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11. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A B$ ， $B C$ ， $D D_{1}$ ， $D_{1} C_{1}$ 上的中点，下列判断正确的是（）

A、直线 $A D //$ 平面 $M N E$ B、直线 $F C_{1} //$ 面 $M N E$ C、平面 $A_{1} B C //$ 平面 $M N E$ D、平面 $A B_{1} D_{1} //$ 平面 $M N E$

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12. 矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $A D = 1$ ， $M$ 是矩形 $A B C D$ 内(不含边框)的动点， $\vec{| M A |} = 1$ ，则 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为（）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6} + 1$ C、 $- \sqrt{6} + 2$ D、 $\frac{3 + \sqrt{6}}{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin (\frac{π}{4} x) ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (e)) =$ .

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14. 已知在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ (不含端点 $A$ ， $D$ )上移动，若 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{μ}{λ} =$ .

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15. 一组数据共有7个整数， $m$ ，2，2，2，10，5，4，且 $2 < m < 10$ ，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是.

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16. 如图，在正三棱锥 $A - B C D$ 中，底面边长为 $\sqrt{6}$ ，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点 $O$ ，且 $O B = 2$ ，则动点 $O$ 在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} b \cos C = c \sin B$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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18. 某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此药，结果如下：

治疗效果

病情好转

疗效不明显

病情恶化

人数

800

200

200

(1)、若另一个人服用此药，请估计该病人病情恶化的概率；

(2)、现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sin x ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， \sin (\frac{π}{3} - x))$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间和最小正周期；

(2)、若当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，关于 $x$ 的不等式 $2 f (x) - 1 \leq m$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P A = A B = B C$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求二面角 $P - C D - A$ 的大小；

(2)、求证： $A E ⊥ P D$ .

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21. 雪豹处于高原生态食物链的顶端，亦被人们称为“高海拔生态系统健康与否的气压计”.而由于非法捕猎等多种人为因素，雪豹的数量正急剧减少，现已成为濒危物种.在中国，雪豹的数量甚至少于大熊猫.某动物研究机构使用红外线触发相机拍摄雪豹的照片，已知红外线触发相机在它控制的区域内拍摄到雪豹的概率为0.2.

(1)、假定有5个红外线触发相机控制某个区域，求雪豹进人这个区域后未被拍摄到的概率；

(2)、要使雪豹一旦进人这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，需至少布置几个红外线触发相机( $\lg 2 \approx 0.301$ ).

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22. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $△ A B D$ 为等边三角形，直线 $P C$ ， $D C$ ， $B C$ 两两垂直，且 $P C = C D = B C = 2$ ， $M$ 为线段 $P A$ 上的一点.

(1)、若平面 $B D M ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求 $A M^{2}$ ；

(2)、若三棱锥 $P - M B D$ 的体积为四棱锥 $P - A B C D$ 体积的 $\frac{1}{2}$ ，求点 $M$ 到平面 $A B C D$ 的距离.

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治疗效果	病情好转	疗效不明显	病情恶化
人数	800	200	200