湖南省名校联考联合体2020-2021学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 1) i = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - i$

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2. 已知某地近三天每天下雨的概率为0.5，现采用计算机模拟的方法估计这三天中至少有两天下雨的概率，先由计算机产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9表示不下雨，经随机模拟产生了20组随机数：
$\begin{array}{l} 162 & 966 & 151 & 525 & 271 & 932 & 592 & 408 & 569 & 683 \end{array}$

$\begin{array}{l} 471 & 257 & 333 & 627 & 554 & 488 & 730 & 163 & 537 & 039 \end{array}$

据此估计，三天中至少有两天下雨的概率为（）

A、0.5 B、0.55 C、0.6 D、0.65

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3. 已知三个函数 $y = a^{x} ， y = x^{b} ， y = {log}_{c} x$ 的图象示，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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4. 已知函数 $y = \ln (x^{2} - a x + 3 a)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- 4 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 4]$ C、 $[4 ， + \infty)$ D、 $(- 4 ， 4]$

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5. 经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬 $30^{\circ}$ ，若将地球看成近似球体，其半径约为 $6400 km$ ，则北纬 $30^{\circ}$ 纬线的长为（）

A、 $6400 \sqrt{3} km$ B、 $6400 \sqrt{3} π km$ C、 $3200 \sqrt{3} π km$ D、 $6400 π km$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 $P (- \frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，角 $β$ 满足 $\cos (α + β) = 0$ ，则 $\frac{\sin 2 β}{\cos 2 β + 1}$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{8}{3}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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7. 如图，为测量楼房的高度PQ ，选择A和另一座楼房的房顶C作为测量基点，从A测得P点的仰角为 $∠ P A Q = 60^{\circ}$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45^{\circ} ， ∠ P A C = 75^{\circ} .$ 从 $C$ 点测得 $∠ P C A = 60^{\circ}$ ，且BC楼高50 $m$ ，则PQ楼高为（）

A、 $75 m$ B、 $75 \sqrt{2} m$ C、 $75 \sqrt{3} m$ D、 $50 \sqrt{6} m$

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8. 在平面中的向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| a | = | b | = 1$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $O$ 为平面内一点，且 $\vec{O Q} = \sqrt{2} (\vec{a} + \vec{b}) ， \vec{O P} = cos θ \vec{a} + sin θ \vec{b} (θ \in [0 ， 2 π))$ ，则 $| \vec{P Q} |$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， \sqrt{2} + 1]$ C、 $[1 ， 3]$ D、 $[\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$

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二、多选题

9. 下列命题中，真命题有（）

A、若复数 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} \in R$ B、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | {\bar{z}}_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ 或 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ C、若复数 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$ D、若复数 $z_{1} ， z_{2}$ 满足 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} \in R$ 且 $z_{2} \in R$

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10. 下列关于概率的命题，正确的有（）

A、若事件 $A ， B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{2}{3}$ ，则 $A ， B$ 为对立事件 B、若事件A ， B满足 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{2}{3} ， P (A B) = \frac{2}{9}$ ，则A ， B相互独立 C、若对于事件 $A ， B ， C ， P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2} ， P (A B C) = \frac{1}{8}$ ，则 $A ， B ， C$ 两两独立 D、若对于事件 $A ， B ， A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.7 ， P (B) = 0.6$ ，则 $P (A B) = 0.42 ， P (A \cup B) = 0.88$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - sin π x ， - 2 ⩽ x ⩽ 0 ， \\ | {log}_{2} x | ， x > 0 ， \end{array}$ 则下列判断正确的有（）

A、方程 $f (x) - \frac{1}{2} = 0$ 的所有解之和为 $\frac{3 \sqrt{2} - 2}{2}$ B、若直线 $y = t$ 与 $y = f (x)$ 的图象有且仅有两个公共点，则 $t \in (- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、若方程 $f (x) = m$ 恰有四解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ $+ x_{3} \cdot x_{4} = 0$ D、若 $f (x) = k$ 有两正根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2} = 1$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 运动，则（）

A、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 B、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成的角的取值范围为 $[45^{\circ} ， 90^{\circ}]$ C、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、过 $P$ 作直线 $l / / A D_{1}$ ，则 $l ⊥ D P$

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三、填空题

13. 已知集合 $A = {x \in Z ∣ \frac{3}{2 - x} \in Z}$ ，用列举法表示集合 $A$ ，则 $A =$ .

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14. 若复数 $z_{1} = 1 + 2 i ， z_{2} = 3 - i$ (其中 $i$ 为虚数单位)所对应的向量分别为 ${\vec{O Z}}_{1}$ 和 $\vec{O Z_{2}}$ ，则 $△ O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为.

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15. 我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为.

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16. 已知，如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为 $1$ ， $P$ 为 $A_{1} B$ 上的动点，则 $A P + P D_{1}$ 的是小值为.

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四、解答题

17. 某地一天的时间 $x (0 ⩽ x ⩽ 24$ ，单位：时)随气温 $y (^{o} C)$ 变化的规隼可近似看成正弦函数 $y = A sin (ω x + φ) + B$ 的图象，如图所示.

(1)、根据图中数据，试求 $y = A sin (ω x + φ) + B$ $(A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < 0)$ 的表达式.

(2)、该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于 $23^{o} C$ ，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？

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18. 已知.如图，正方形ABCD的边长为1，P ， Q分别为边BC ， CD上的点.

(1)、 $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{B C} ， \vec{D Q} = 2 \vec{Q C}$ .求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ ；

(2)、当 $△ C P Q$ 的周长为2时，求 $∠ P A Q$ 的大小.

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19. 新冠疫苗接种是能构建人群免疫屏陈，阻断病毒传挪，国家卫健委宣布至2021年6月14日，我国已累计报告接种新冠病毒疫苗超9亿剂次.在某社区接种点，随机抽取了100名来接种疫苗的市民，统计其在接种点等待接种的时间(等待时间不超过40分钟)，将统计数据按 $[5 ， 10) ， \dots ， [35 ， 40]$ 分组，制成以下频率分布直方图.

(1)、由所给的频率分布直方图：
①估计该接种点市民等待时间的上四分位数；(结果保留一位小数)

②记A事件为该接种点居民等待接种时间少于30分钟”，试估计件A的概率.

(2)、为鼓励市民踊跃接种，在该接种点接种疫苗的市民有机会获取小礼物；现场有1个箱子，箱子中有质地相同的10个小球，其中9个蓝球，1个红球，每个完成接种的市民有两种选择，选择1：每次摸出1球，有放回地摸10次；选择2：每次可摸出2球，有放回地摸5次.两种选择至少能摸出一个红球即可获赠小礼物，则哪种选择获得小礼物的概率较大？说明理由.

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20. 已为 $a . b .$ c分别为 $△ A B C$ 三内角 $A ， B ， C$ 的对边，且 $a cos C - \sqrt{3} a sin C = b - c$

(1)、求 $A$ .

(2)、若 $c = 2$ ， $B$ 的平分线 $B D = \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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21. 设函数 $f (x) = a \cdot 2^{x} - 2^{- x}$ 定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、若不等式 $f (x) ⩾ k \cdot 2^{x} - 2$ 有解，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $f ({sin}^{3} α - {cos}^{3} a) + f (cos α - sin α) > 0 (α \in (0 ， 2 π))$ ，求满足条件的a的取值范围.

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22. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A A_{1} = 2 ， ∠ A C B = 90^{\circ}$ ，M为侧梭 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、试探究在 $B C_{1}$ 上是否存在点 $N$ ，使 $A_{1} N / /$ 面 $B C M$ ，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $B C_{1}$ 与平面 $B C M$ 所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求该三棱柱的体积.

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