广东省部分重点学校2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-15 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 5 < x < 3}$ ， $B = {x | x^{2} + 4 x - 12 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 6 < x < - 5}$ B、 ${x | - 5 < x < 2}$ C、 ${x | - 5 < x < - 2}$ D、 ${x | - 3 < x < 3}$

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2. 复数 $z (1 - 2 i) = 10 i$ ，在 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、4

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3. 若 $\sin (π - α) = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{π}{2} \leq α \leq π$ ，则 $sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2) ， \vec{b} = (2 ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (m \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 某棋牌室有20名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级11人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是0.2，则抽到初级的概率是（）

A、0.20 B、0.22 C、0.25 D、0.42

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6. 若 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则 $y = \frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、4

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7. 函数 $f (x) = 3 x + \log_{2} x$ 的零点所在区间为（）

A、 $[\frac{1}{16} ， \frac{1}{8}]$ B、 $[\frac{1}{8} ， \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1]$

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8. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $l$ ， $m$ 是两条不同的直线，且 $l \subset α$ ， $m \subset β$

A、若 $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ m$ C、若 $l // β$ ，则 $α // β$ D、若 $α // β$ ，则 $l // m$

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二、多选题

9. 已知函数① $y = \sin 2 x$ ，②函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列正确的有（）

A、①②周期相同，最大小值相同 B、①由②向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 C、①由②向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 D、①由②向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到

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10. 下列式子中成立的是（）

A、 $\log_{\frac{1}{2}} 4 < \log_{\frac{1}{2}} 6$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{0.3} > {(\frac{1}{3})}^{0.3}$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{3.4} < {(\frac{1}{2})}^{3.5}$ D、 $\log_{3} 2 < \log_{2} 3$

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11. 下列函数 $f (x) ， g (x)$ 表示相同函数的是（）

A、 $f (x) = 2^{x} ， g (x) = \log_{2} x$ B、 $f (x) = | x | ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = x ， y = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $f (x) = 2 \lg x ， g (x) = \lg (2 x)$

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12. 下列说法中，正确的是（）

A、任意单位向量的模都相等. B、若 $A$ ， $B$ 是平面内的两个不同的点，则 $\vec{A B} = \vec{B A}$ C、若向量 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、零向量与任意向量平行

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三、填空题

13. 若 $\tan α = \frac{1}{2}$ ， $\tan (β - α) = \frac{2}{5}$ ，则 $\tan (β - 2 α)$ =.

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14. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为

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15. 若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则三棱锥 $A - A_{1} B D$ 的体积为.

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16. 如图是某学生进入高中以来14次周练的数学成绩茎叶图，这14次周练数学成绩的极差和中位数依次是.

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $< \vec{a} ， \vec{b} > = 150^{\circ}$ .
求：

(1)、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ .

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 5 ， B C = 4 ， A C = 3$ ，点 $D$ 是线段 $P B$ 的中点，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、在线段 $A B$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $D E //$ 平面 $P A C$ ？若存在，指出点 $E$ 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；

(2)、求证： $P A ⊥ B C$ .

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19. 某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 $13$ 秒与 $18$ 秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)、若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；

(2)、请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；

(3)、请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数（保留两位小数）.

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20. 在 $△ A B C$ 中，设内角A，B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\frac{b}{\cos B} = \frac{2 c - a}{\cos A - 2 \cos C}$ .

(1)、求 $\frac{c}{a}$ 的值；

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S.

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21. 已知向量 $\vec{a} = (\sin \frac{1}{2} x ， \sqrt{3}) ， \vec{b} = (1 ， \cos \frac{1}{2} x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $f (x) = 0$ 且 $π < x < 2 π$ ，求 $x$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(3)、若 $f (2 α + \frac{π}{3}) = \frac{10}{13} ， f (2 β + \frac{4 π}{3}) = - \frac{6}{5}$ ， $α ， β \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos (α + β)$ 的值.

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22. 已知 $f (x) = x^{2} - a x + 3$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，解不等式 $f (x) > 6$ ；

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 1 - x^{2}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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