浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2021-07-15 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、{1} B、{2} C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 3}$

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2. $\cos (- \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，且 $a + b + c > 0$ ，则（）

A、 ${(a + b)}^{2} > c^{2}$ B、 $a$ ， $b$ ， $c$ 三数中至少有一个大于零 C、 $a$ ， $b$ ， $c$ 三数中至少有两个大于零 D、 $a$ ， $b$ ， $c$ 三数均大于零

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4. “ $\cos θ = 0$ ”是“ $\sin \frac{θ}{2} = \cos \frac{θ}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A D = 2 B C$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ C、 $2 \vec{b} - \vec{a}$ D、 $2 \vec{b} + \vec{a}$

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6. 函数 $f (x) = (x + 1) ln (| x - 1 |)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 给出下列四个关于函数的命题：
① $f (x) = x^{3}$ （ $x \in {- 1 ， 0 ， 1}$ ）与 $g (n) = n^{\frac{1}{3}}$ （ $n \in {- 1 ， 0 ， 1}$ ）表示相同函数；② $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{| x + 4 | - 4}$ 是既非奇函数也非偶函数；③若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $G$ 上均为递增函数，则 $f (x) \cdot g (x)$ 在区间 $G$ 上亦为递增函数；④设集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {y | 0 \leq y \leq 1}$ ，对应关系 $f ： x \to \log_{4} (x + 2)$ ，则能构成一个函数 $f ： A \to B$ ，记作 $y = f (x) = \log_{4} (x + 2)$ ， $x \in A$ .其中，真命题为（）

A、②③ B、①④ C、①③④ D、②③④

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8. 设 $(a ， b) \in {(x ， y) | x - y \geq 1 ，且 x + 3 y \leq 3 ， y \geq 0}$ ，则 $a + b$ 的最大值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，公差 $d = 4$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{2021}}{2021} - \frac{S_{2020}}{2020}$ 的值（）

A、等于4 B、等于2 C、等于 $\frac{1}{2}$ D、不确定，与 $a_{1}$ 有关

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10. 已知函数 $f (x) = | 2 \cos x + 1 - k | + k + 2$ 在区间 $(- \infty ， + \infty)$ 上的最大值是5，则实数 $k$ 的值所组成的集合是（）

A、{1} B、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ C、 ${k | k \leq 1}$ D、 ${k | - 1 \leq k \leq 1}$

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二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）

11. 已知复数 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，则 $z_{1} + z_{2} =$ ， $\frac{1}{z_{1} - z_{2}}$ 的共轭复数为.

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} 2 x^{2} - 1 ， x > 0 ， \\ | \log_{2} (- x + 1) | ， x \leq 0 ， \end{cases}$ 则 $f (- 1) =$ ，若 $f (a) = 3$ ，则 $a =$ .

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13. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 60 ° ， A B = 2$ ，M是 $B C$ 的中点， $A M = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A C =$ ， $\cos ∠ M A C =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} + \ln (2 x + 1)$ ， $e$ 是自然对数的底数，设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (0) =$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线的方程为.

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M A N = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为.

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16. 已知 $α ， β \in R$ ，且满足 $α^{2} - 2 \sin β = 1$ ，则 $4 α + \sin β$ 的值域为.

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17. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足： $b^{2} (3 a^{2} + 4 a b) = 3$ ，则 $3 a + 2 b$ 的最小值为.

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三、解答题（本大题共5小题，共74分。）

18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知向量 $\vec{m}$ 、 $\vec{n}$ 满足： $\vec{m} = (2 a ， \sqrt{6})$ ， $\vec{n} = (b ， \sqrt{2} \sin B)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ .
（Ⅰ）求角 $A$ ；

（Ⅱ）若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $a = 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ），数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{n b_{n}}{a_{n} + 1}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ B C P$ 均为正三角形.

（Ⅰ）求证： $A P ⊥ B C$ ；

（Ⅱ）若 $\cos ∠ A B P = \frac{1}{4}$ ，

（ⅰ）求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C P$ ；

（ⅱ）求二面角 $A - P B - C$ 的平面角的余弦值.

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21. 已知抛物线 $C_{1} ： y^{2} = 4 x$ 与椭圆 $C_{2} = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）有公共的焦点， $C_{2}$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $C_{2}$ 的方程

（Ⅱ）如图，若直线 $l$ 与 $x$ 轴，椭圆 $C_{2}$ 顺次交于 $P$ ， $Q$ ， $R$ （ $P$ 点在椭圆左顶点的左侧），且 $∠ P F_{1} Q$ 与 $∠ P F_{1} R$ 互补，求 $△ F_{1} Q R$ 面积 $S$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = n \sin x + \tan x$ ， $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ ；

（Ⅱ）当 $n = 1$ 时，求证： $f (x) > 2 x$ 在 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 上恒成立；

（Ⅲ）若 $f (x) > (n + 1) x$ 在 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 上恒成立，求 $n$ 的最大值.

注：以下不等式可参考使用：

对任意 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3} \in R_{+}$ ，恒有 $\sqrt[3]{a_{1} a_{2} a_{3}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + a_{3}}{3}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = a_{3}$ 时“=”成立.

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