浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ， $A = {x | x^{2} < 1 ， x \in U}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ B、 ${- 2 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 双曲线 $y^{2} - x^{2} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq x \\ y \leq 2 - 2 x \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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4. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位： ${cm}^{3}$ ）是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $(3 + \frac{\sqrt{5}}{2}) π$

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5. 已知函数 $f (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ），则 $y = f (| x | - 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $a ， b \in R$ ，则“ $a + | b | > 1$ ”是“ $| a | + | b | \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ， $\sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\sqrt{6}$

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 1 - A \cdot 3^{n + 1}$ （ $A \in R$ ），数列 ${b_{n}}$ 是递增的，且 $b_{n} = A n^{2} + B n$ ，则实数 $B$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{2}{3} ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{3} ， + \infty)$

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9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $| \vec{a} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $| \vec{a} + λ \vec{b} | \geq | \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} |$ 对任意实数 $λ$ 恒成立， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - 2 \vec{c}) = 1$ ，则 $| \vec{b} - \vec{c} |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

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10. 已知方程 $\sqrt{x} \cdot e^{k x} = 1$ 有两个不同的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），则下列不等式不成立的是（）

A、 $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ B、 $x_{1} + x_{2} > 2 e$ C、 $x_{1} - k < e + \frac{1}{e}$ D、 $x_{2} - k > e + \frac{1}{e}$

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二、填空题

11. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ ， $z$ 的虚部为．

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12. 已知 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，若 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1} = 1021 - n$ ，则 $n =$ ， $a_{7} =$ ．

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13. 在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c$ ，则 $A =$ ；若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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14. 袋中装有质地，大小相同的5个红球， $m$ 个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为 $\frac{5}{14}$ ，则 $m =$ ；记取出的红球个数为 $X$ ，则 $E (X) =$ ．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a + 2 b - 3 a b}$ 的最大值是．

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过点 $N (2 ， 0)$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $\frac{| A N |}{| B N |} = 2$ ，则线段 $A B$ 长为．

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $B C = 2 a$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，将△ $A B E$ 沿 $B E$ 翻折到△ $A^{'} B E$ 的位置，在翻折过程中， $A^{'}$ 不在平面 $B C D E$ 内时，记二面角 $A^{'} - D C - B$ 的平面角为 $α$ ，则当 $α$ 最大时， $\cos α$ 的值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} (x + \frac{π}{2}) - \cos^{2} (x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $α \in [0 ， π]$ ， $f (α) = - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $α$ 的值．

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 与正三角形 $D E F$ 所在平面互相垂直， $∠ B C D = 60 °$ ， $E$ ， $G$ 分别是线段 $A B$ ， $C F$ 的中点．

(1)、求证： $B G //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $D E G$ 所成角的正弦值．

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20. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项之和 $b_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项之积 $c_{n} = b_{1} b_{2} \cdot \cdot \cdot b_{n}$ ，且 $b_{n} + c_{n} = 1$ ．

(1)、求证： ${\frac{1}{c_{n}}}$ 为等差数列，并分别求 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n} \cdot b_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，不等式 $S_{n} > \frac{1}{λ} + λ - 3$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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21. 如图， $A$ ， $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右顶点，直线 $y = k x + m$ 交椭圆于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $A C$ 的斜率是直线 $B D$ 的斜率3倍．

(1)、若 $P$ 为椭圆上异于 $A$ ， $B$ 的一点，证明：直线 $P A$ 和 $P B$ 的斜率之积为常数；

(2)、证明：直线 $C D$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | \sqrt{x} + b |$ （ $a ， b \in R$ ）．

(1)、若 $a = 1$ ， $b = - 1$ ，求 $y = f (x)$ 的值域；

(2)、若 $b = 0$ ，当 $x \in [0 ， 4]$ 时， $f (x)$ 的最大值为 $\frac{25}{8}$ ，求 $a$ 的值；

(3)、当 $x \in [0 ， 4]$ 时，记 $f (x)$ 最大值为 $M (a ， b)$ ，求证：当 $a^{2} + b^{2} \leq \frac{1}{2}$ 时， $3 \leq M (a ， b) \leq 7$ ．

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