天津市西青区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）

A、7 B、9 C、12 D、16

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2. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A、120种 B、90种 C、60种 D、30种

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3. 函数 $f (x)$ 图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > 0 > f^{'} (3)$ B、 $f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3) < 0$ C、 $0 < f^{'} (1) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$ D、 $f^{'} (1) > f^{'} (2) > f^{'} (3) > 0$

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4. 已知随机变量 $X$ 的分布列：满足 $Y = a X + 3 ， E (Y) = \frac{5}{3}$ ，则 $a$ 的值为（）

$X$

$- 1$

0

1

$p$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

A、4 B、-4 C、2 D、 $- 2$

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5. 设 $x > 1 ， f (x) = \sqrt{x - 1} ， g (x) = 1 - \frac{1}{x} ， h (x) = ln x$ ，三个函数图象如图所示，则 $f (x) ， g (x) ， h (x)$ 的图象依次为图中的（）

A、 $C_{1} ， C_{2} ， C_{3}$ B、 $C_{2} ， C_{3} ， C_{1}$ C、 $a_{1} = 1$ D、 $a_{2} = 1$

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6. 为切实做好新冠肺炎疫情防控工作，有效､及时控制和消除新冠肺炎的危害，增强高中学生对新冠肺炎预防知识的了解，某学校某班级组织了“抗击新冠疫情”知识竞赛，王同学在5道“抗击新冠疫情”知识题中(3道选择题和2道填空题)，每次从中随机抽取1道题，抽出的题不再放回，设事件A为“第1次抽到选择题”，设事件B为“第2次抽到填空题”，则 $P (B ∣ A)$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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7. 在 ${(1 - x)}^{4} + {(1 - x)}^{5} + {(1 - x)}^{6} + {(1 - x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数为（）

A、69 B、121 C、-69 D、-121

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8. 某市高二年级男生的身高 $ξ$ (单位： $cm$ )近似服从正态分布 $ξ \sim N (170 ， 25)$ ，则随机选择名本市高二年级的男生身高在 $[165 ， 180]$ 内的概率为（）
附：随机变量符合正态分布 $ξ \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6827$ ， $\begin{array}{r} P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545 ， P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9973 \end{array}$

A、0.84 B、0.8186 C、0.9759 D、0.4772

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9. 已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的导函数，且函数 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值，则函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

10. 已知函数 $f (x) = {(1 - x)}^{2} ， f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的值为．

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11. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为（结果用数字作答）

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12. 某一大型购物广场有“喜茶”和"沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去"沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率．

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13. 对两个变量x ， y进行回归分析．
①残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；

②相关系数 $r$ 的绝对值接近于0，两个随机变量的线性相关性越强；

③在经验回归方程 $\hat{y} = 0.3 x + 0.8$ 中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量 $y$ 平均增加0.3个单位；

④某人研究儿子身高 $y (cm)$ 与父亲身高 $x (cm)$ 的关系，得到经验回归方程 $\hat{y} = 0.839 x + 28.957$ ，当 $x = 176 cm$ 时， $\hat{y} \approx 177 cm$ ，即：如果一个父亲的身高为 $176 cm$ ，则儿子的升高一定为 $177 cm$ ．

则以上结论中正确的序号为．

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14. 函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ，若方程 $f (x) - a = 0 (a \in R)$ 有一个解，则 $a$ 的取值范围为．

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15. 已知 ${(3 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有二项式系数和为64，则 $n =$ ，二项式展开式中常数项为．

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三、解答题

16. 随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注，下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取40名学生的统计数据如下表：

	成绩优秀	成绩不够优秀	合计
选修生涯规划课	$a$	$b$	20
不选修生涯规划课	$c$	16
合计		24	40

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

P（x²≥x_a）	0.1	0.05	0.01	0.001
x_a	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、请将题目中表格补充完整；

(2)、根据

2 \times 2

联表，依据

α = 0.01

的独立性检验，能否认为“学生成绩优秀与选修生涯规划课”有关联，请说明理由．

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17. 一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个

(1)、若每次随机取出一个球，规定：如果取出黄球，则放回袋子里，重新取球；如果取出白球，则停止取球，求在第3次取球之后停止的概率；

(2)、若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率；

(3)、若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用 $X$ 表示样本中白球的个数，求 $X$ 的分布列和均值．

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18. 设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 3 b x + c$ 在 $x = 0$ 处取得极大值1．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 3]$ 上的最值；

(3)、若 $f (x)$ 在 $[t ， t + 1]$ 上不单调，求 $t$ 的取值范围．

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19. 百年传承，红色激荡，今年是伟大的中国共产党建党100周年为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进高中学生对党史知识的了解，某学校组织开展党史知识竞赛，以班级为单位参加比赛，甲､乙两班进行党史知识竞赛，比赛采取五局三胜制，约定先胜三局者获胜，比赛结束，假设在每局比赛中，甲班获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙班获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，各局比赛相互独立．

(1)、求甲班获胜的概率；

(2)、设比赛结束时，甲班和乙班共进行了 $X$ 局比赛，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望．

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20. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{a}{2} x^{2} - (a - 1) x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、函数 $g (x) = x - \frac{a}{2} x^{2}$ ，若不等式 $f (x) \leq g (x)$ 对任意的 $x \in (0 ， \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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$X$	$- 1$	0	1
$p$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$