天津市河西区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x > - 1$ 或 $x < - 2}$ ，集合 $N = {x | x \geq - 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${x | x \geq - 2}$ B、 ${x | x > - 1}$ C、 ${x | x \leq - 2}$ D、 $R$

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2. 下列函数中，与函数 $y = x$ 相同的是（）

A、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $y = \lg 10^{x}$ D、 $y = 2^{\log_{2} x}$

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3. 命题“ $\forall x \in Z$ ， $| x | \in N$ ”的否定是（）

A、“ $\exists x \in Z$ ，使得 $| x | \in N$ ” B、“ $\forall x \notin Z$ ，使得 $| x | \notin N$ ” C、“ $\exists x \in Z$ ，使得 $| x | \notin N$ ” D、“ $\forall x \notin Z$ ，使得 $| x | \in N$ ”

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4. 下列函数中，既是奇函数又是单调递增函数的是（）

A、 $y = - x^{3}$ B、 $y = \lg x^{3}$ C、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ D、 $y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

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5. 若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ 的零点一定位于区间（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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7. 已知函数 $f (x) = 2021^{- | x |}$ ，设 $a = f (\ln 3 e)$ ， $b = f ({0.2}^{0.3})$ ， $c = f ({(- \frac{2}{3})}^{- 1})$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < a < b$

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8. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2 | x | - 1}$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x^{2}}{x - 1} ， x \leq 0 \\ x^{3} - (a + 1) x^{2} + 2 a x ， x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = a x$ 有4个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 1)$ B、（0，1） C、 $(0 ， 1]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

10. 若集合 $M = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $N = {1 ， 3 ， 5}$ ， $P = M \cap N$ ，则集合 $P$ 的子集个数为．

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11. 函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间是．

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12. 若不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，则不等式 $b x^{2} - a x - 1 > 0$ 的解集为．

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13. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且函数 $f (x + 2)$ 为偶函数， $f (3) = 3$ ，则 $f (7) + f (4) =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (5 a - 4) x + 7 a - 3 (x < 1) \\ {(2 a - 1)}^{x} (x \geq 1) \end{array}$ 是 $R$ 上的单调递减函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a - 2 b = 1$ ，则 $a^{2} + 4 b^{2} + \frac{1}{4 a b}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， 2)$ ，且当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = \log_{a} (x + 2)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

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17. 设集合 $A = {x | x^{2} - a x + 5 > 0}$ ， $B = {x | 2 < x < 5}$ ．

(1)、若集合 $A = R$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 3 | - x + 4$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集 $M$ ；

(2)、若 $t$ 为集合 $M$ 中的最大元素，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = t (a > 0, b > 0)$ ，求 $\frac{a}{9} + \frac{b}{2}$ 的最小值.

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