四川省蓉城名校联盟2020-2021学年高二下学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq - \frac{3}{5}}$ ， $B = {x \in Z | x^{2} \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 $[- \frac{3}{5} ， 1]$

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2. 复数 $\frac{\sqrt{2} - 3 i}{\sqrt{2} + i}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3} i$

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3. 命题 $p$ ：“直线 $a$ ， $b$ 平行”是“直线 $a$ ， $b$ 共面”的充分条件；命题 $q$ ：由归纳推理得到的结论一定正确，则下列命题为假命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \lor q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \lor (\neg q)$

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4. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + \lg x$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ 没有最大值

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5. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 4)$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 31$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、2 B、-3 C、-2 D、3

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6. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，虚轴的一个端点为 $A$ ，线段 $F_{1} F_{2}$ 的一个三等分点为 $B$ ，若直线 $A B$ 与 $C$ 的一条渐近线平行，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、6 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{6}$

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7. 要从96个接种了新冠疫苗的人中抽取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽出16个号.把抽出的号从小到大排列，已知第1，3，13个号成等比数列，则抽出的最大号为（）

A、92 B、93 C、95 D、96

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8. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与直线 $a x + \sqrt{3} b y + 1 = 0$ （ $a$ ， $b$ 为非零实数）相切，则 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{3}{b^{2}}$ 的最小值为（）

A、10 B、12 C、13 D、16

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9. 直线 $l$ ： $\sqrt{3} x - 3 y + 2 = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，把 $l$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 得直线 $m$ ， $m$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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10. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）

A、 $17 π$ B、 $68 π$ C、 $13 π$ D、 $23 π$

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11. 某老师随机抽样调查了5名学生周末上网的时间，再与这5名学生在全年级的成绩排名对应，得到下表中的数据，并根据这些数据求得学生成绩排名关于周末上网时间的线性回归方程为

\hat{y} = 0.95 x + \hat{a}

．若运行如下图所示的程序框图，输出的值为365，则把

m

的值代入

\hat{y} = 0.95 x + \hat{a}

，所得

\hat{y}

的值为（）

$n$	1	2	3	4	5
第 $n$ 个学生周末上网时间 $x_{n}$ （分钟）	$m$	130	170	220	310
第 $n$ 个学生的成绩排名 $y_{n}$	58	116	143	195	288

A、46.5 B、50.5 C、55.5 D、58

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12. 已知 $2^{a} = 3$ ， $5^{b} = 11$ ， $c = 9^{0.25}$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

13. $\int_{0}^{π} (2 x - \cos x) d x$ 的值为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin A = \sqrt{2} \sin 2 A$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 3$ ，则 $a =$ .

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15. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x \leq y \\ 3 x + 2 y \leq 6 \\ a x - y \geq - 4 \end{array}$ ，且 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为 $4$ ，则实数 $a$ 的值为．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $M$ 为 $C$ 上的动点，直线 $M F$ 与 $C$ 的另一交点为 $A$ ， $M$ 关于点 $P (12 ， 4)$ 的对称点为 $B$ ．当 $| M A | + | A B |$ 的值最小时，直线 $A M$ 的方程为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + x^{2} - x + 2$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 恰好有三个单调区间，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(1 ， 3)$ ，且 $x \in [- 2 ， 2]$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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18. 为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中 $A$ ， $B$ 两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“ ”表示.

(1)、若 $A$ 组同学的平均成绩大于 $B$ 组同学的平均成绩，分别求 $A$ ， $B$ 两组同学成绩的中位数；

(2)、若 $A$ ， $B$ 两组同学的平均成绩相同，分别求出 $A$ ， $B$ 两组同学成绩的方差 $s_{A}^{2}$ 和 $s_{B}^{2}$ ，并由此分析两组同学的成绩；

(3)、若从 $A$ 组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在 $[80 ， 90)$ 分，又有成绩在 $[90 ， 100)$ 分的概率.

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19. 如图1所示，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 4 \sqrt{3}$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，现沿着对角线 $A C$ 折成一个四面体 $A B C D$ ，如图2所示．

(1)、在图2中，证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若图2中 $B D = 6 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B D$ 的三等分点（靠近点 $D$ ），求二面角 $P - A C - D$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴的一个顶点为 $B_{1}$ ，且 $\vec{F_{1} B_{1}} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = 6$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若过点 $(1 ， 0)$ 任作一条斜率不为0的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，与直线 $x = 4$ 交于点 $C$ ，过点 $(1 ， 0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆交于点 $P$ ，记直线 $A P$ ， $C P$ ， $B P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，试探究 $\frac{k_{1} + k_{3}}{2}$ 与 $k_{2}$ 的大小关系，并证明你的结论.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 2 \ln x + 1 (a \in R)$ ， $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.718 \dots$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = 2 x^{2} e^{x} - f (x)$ ，且 $g (x) \geq 0$ ，求整数 $a$ 的最大值．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \sqrt{2} \cos φ \\ y = 2 + 2 \sqrt{2} \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin θ = 8$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < \frac{π}{2} ， ρ > 0)$ ，射线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 交于点 $A$ ，与曲线 $C_{2}$ 交于点 $B$ （原点除外）， $| O A | \cdot | O B | = 64$ ，求 $α$ .

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