安徽省合肥市瑶海区2020-2021学年七年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列实数中，无理数是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、3.1415926 C、 $\sqrt{40}$ D、0.15

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2. 已知 $a < b$ ，下列不等式变形正确的是（）

A、 $a - 2 > b - 2$ B、 $2 a > 2 b$ C、 $- \frac{a}{2} < - \frac{b}{2}$ D、 $2 a - 1 < 2 b - 1$

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3. 在中国疫情已经基本得到全面控制的情况下，全世界其它地区的新冠疫情依然非常严峻，截止2021年4月30日，全世界其它国家和地区累计确诊人数大约156000000，156000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.56 \times 10^{8}$ B、 $15.6 \times 10^{8}$ C、 $1.56 \times 10^{9}$ D、 $0.156 \times 10^{10}$

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4. 如图所示，∠2 和∠1 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $x^{a} \cdot x^{- 3} = x^{2}$ ，则a的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、5 D、 $- 5$

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6.
如图，直线l₁//l₂ ，则α为（）

A、150° B、140° C、130° D、120°

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7. 式子 $\sqrt{1 - 3 x}$ 有意义，x的取值范围是（）

A、 $x \geq \frac{1}{3}$ B、 $x > \frac{1}{3}$ C、 $x \leq \frac{1}{3}$ D、 $x < \frac{1}{3}$

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8. 下列说法中，错误的是（）

A、过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B、在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线最短 C、经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 D、同位角相等，两直线平行

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9. 已知关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 1 > 2 \\ x - m > 0 \end{array}$ 的解集为 $x > m$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $m < 1$ D、 $m \leq 1$

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10. 已知 $a = \frac{1}{a} + 1$ 则 $a^{2} - a$ 的值为（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、2

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二、填空题

11. 因式分解：ma²-4am+4m=

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12. 如图，AB、CD相交于点O，OB平分 $∠ D O E$ ．若 $∠ A O C = 30 °$ ，则 $∠ D O E$ 的度数是．

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13. $\sqrt[3]{64}$ 的平方根为

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14. 数学上往往是先有猜想，猜想被证明符合题意后便成为定理．黎曼猜想（也称黎曼假设）是100多年前由德国著名数学家黎曼提出的，它是世界上最重要的数学猜想之一．有大约1000个数学命题，一旦黎曼猜想得到证明，它们就必然成立．黎曼猜想与物理学、密码学也有深刻的联系．黎曼猜想与以下数学式有关： $1 + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \dots + \frac{1}{n^{s}} + \dots$
当 $s = 1$ 时，上式就是所有正整数的倒数的和 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$ （*）

随着n的无限增加，（*）式中的第n项 $\frac{1}{n}$ 将无限接近于0，那么（*）式的值会比10大吗？会比10000大吗？

自然的感觉是“聚沙成塔”、“积少成多”，即设法把很多小小的项累加起来变大．下面是实现这个想法的一种组合法：

$1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}) + \dots + \frac{1}{n}$

$> 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + (\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}) + \dots + \frac{1}{n}$

用这种方法可以判定（*）式中：

(1)、从第一项1开始，一共项的和就可以大于3；

(2)、从第一项1开始，一共项的和就可以大于6

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三、解答题

15. 计算： ${(π - 2021)}^{0} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - {(- 2)}^{- 2}$

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16. 计算： ${(x + y)}^{2} - 2 (x + y) (x - y)$

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17. 某口罩厂工人一天可包装口罩3000箱，现厂里需要提前供货，要求工人每小时比原计划多装20%，这样可以提前4小时完成任务，求原计划每小时装多少箱口罩？

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18. 阅读下面关于“ $\sqrt{2}$ 不是有理数”的证明过程，并填空：
“ $\sqrt{2}$ 不是有理数”，对于这一事实的证明，最早出现在亚里士多德（Aristotle）的著作中，但他声明来源于毕达哥拉斯学派．欧几里得（Euclid）在《原本》中给出了证明．

证明：假设 $\sqrt{2}$ 应是有理数，由于 $\sqrt{2} > 0$ ，所以必然有两个正整数a，b，

使 $\sqrt{2} = \frac{b}{a}$ ，①

而且a，b互质（即没有1以外的公因数）．

等式①两边平方，得

${(\sqrt{2})}^{2} = {(\frac{b}{a})}^{2}$ ，即 $2 = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ．

所以 $b^{2} =$     ▲     ． ②

上面式子的右边是偶数，所以左边 $b^{2}$ 也是偶数，因而b也是    ▲     ，

可设 $b = 2 k$ （k是正整数），代入②，得

$4 k^{2} = 2 a^{2}$ ，

即 $2 k^{2} = a^{2}$ ．

所以a也是偶数，这说明a，b都是偶数，不是    ▲     ，

与假设相矛盾，即 $\sqrt{2}$     ▲     有理数．

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19. 先化简 $(\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - a} + \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a}) \div \frac{2 a - 3}{a + 1}$ ；然后再从 $- 3$ ， $- 2$ ， $- 1$ ，0，1选择一个合适的数作为a的值，代入后再求值．

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20. 如图，直线AB，CD和EF相交于点O，

(1)、写出 $∠ A O C$ ， $∠ B O F$ 的对顶角；

(2)、如果 $∠ A O C = 70 °$ ， $∠ B O F = 20 °$ ，求 $∠ B O C$ 和 $∠ D O E$ 的度数．

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21. 某服装店一天售出运动上衣和运动裤共8件，其中3件运动裤的总价比2件运动上衣的总价多100元，3件运动上衣和2件运动裤共1800元．

(1)、求运动上衣和运动裤单价是多少元？

(2)、由于运动裤存货较多，服装店希望运动裤的日销售量多于运动上衣，且这天的销售总额不低于2580元，请给出服装店设想的这天最佳销售方案．

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22.

(1)、仔细读题，完成下列说理填空：
已知：如图， $A B / / E F$ ，直线DE交AB于点G， $∠ B + ∠ F E G = 180 °$ ．

求证： $D E / / B C$ ．

证明：因为 $A B / / E F$ （    ▲     ），

所以 $∠ E G B = ∠ F E G$ （    ▲     ）．

因为 $∠ B + ∠ F E G = 180 °$ （已知），

所以 $∠ B + ∠$     ▲     $= 180 °$ （等量代换）．

所以 $D E / / B C$ （    ▲     ）．

(2)、聪明的你，请写出一种与第（1）题不同的说理过程（格式仿照第（1）小题证明过程，不用写理由）．

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23. 观察下列等式：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ，① $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ，② $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，

③ $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ，④ $\frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$ ，⑤……

(1)、请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；

(2)、根据第（1）小题计算，总结规律并填空： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots \dots + \frac{1}{n (n + 1)} =$ ；

(3)、根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1

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