陕西省商洛市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. $(1 + 3 i) + (2 - i) =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $3 - 2 i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $3 + 2 i$

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2. 设集合 $P = {x | x^{2} \leq 9}$ ， $Q = {x | x - 2 > 0}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | x < - 3}$ B、 ${x | x > 3}$ C、 ${x | - 3 \leq x < 2}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3}$

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3. 若函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = x \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为偶函数 C、 $f (x)$ 为偶函数， $g (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 均为奇函数

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4. 设平面 $α$ 与平面 $β$ 的交线为 $l$ ，则“ $α$ 内存在直线 $m ⊥ l$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 曲线 $y = \frac{x - 1}{3 x + 1}$ 在点 $(1 ， 0)$ 处切线的斜率为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. ${(x^{n} - \frac{1}{x^{3}})}^{10}$ 展开式中的第5项为常数项，则正整数n的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \leq 2 \\ 2 x - y \geq 1 \\ y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，表示的平面区域的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 设四面体 $A B C D$ 的每个顶点都在球 $O$ 的球面上， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A C = B C = 1$ ， $C D = 2$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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9. 设某车间的A类零件的质量m(单位： $kg$ )服从正态分布 $N (10 ， σ^{2})$ ，且 $P (m > 10.1) = 0.2$ .若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在 $9.9 kg ~ 10.1 kg$ 的个数大约为（）

A、40 B、30 C、60 D、24

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10. 已知 $P$ 为曲线 $C ： x = 3 \sqrt{y}$ 上一点， $T (0 ， \frac{9}{4})$ ， $A (3 ， 3)$ ，则 $| P T | + | P A |$ 的最小值为（）

A、6 B、 $\frac{23}{4}$ C、5 D、 $\frac{21}{4}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (\frac{ω x}{2} + \frac{π}{14}) \sin (\frac{3 π}{7} - \frac{ω x}{2}) (ω > 0)$ 在 $[0 ， π)$ 上恰有6个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{41}{7} ， \frac{48}{7}]$ B、 $(\frac{34}{7} ， \frac{41}{7}]$ C、 $[\frac{41}{7} ， \frac{48}{7})$ D、 $[\frac{34}{7} ， \frac{41}{7})$

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12. 若 $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{3}$ ， $b = \ln \frac{3}{4}$ ， $c = - \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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二、填空题

13. 圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的圆心到直线 $x + y + 1 = 0$ 的距离为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， λ)$ 与 $\vec{b} = (- 3 ， 1)$ 垂直，则 $λ {\vec{a}}^{2} =$ .

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C = \sin A \sin B$ ，现有下列四个结论：① $C = \frac{2 π}{3}$ ；②当 $a = \lg 2$ ， $b = \lg 5$ 时， $c^{2} = 1 - 3 \lg 2 \lg 5$ ；③当 $c = 2 \sqrt{3}$ 时， $△ A B C$ 外接圆的面积为 $16 π$ ；④当 $c = 2$ 时， $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .其中所有正确结论的编号是.

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16. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上､下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 $\frac{3}{4}$ (细管长度忽略不计).若细沙的流速为每分钟1cm³ ，则上部细沙全部流完的时间约为分钟(结果精确到整数部分)；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则该沙堆的高为cm.

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三、解答题

17. 如图，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，A ， D ， B分别在x ， y ， z轴的正半轴上，C在平面BOD内.

(1)、若 $O E ⊥ C D$ ，证明： $C D ⊥ A E$ .

(2)、已知 $O A = O D = 3$ ， $O B = 2$ ，C的坐标为 $(0 ， 2 ， 4)$ ，求BC与平面ACD所成角的正弦值.

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18. 2020年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得积压了许多苹果的当地果农有了销路.为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据分成 $[90 ， 110)$ ， $(110 ， 130]$ ， $(130 ， 150]$ ， $(150 ， 170]$ 4组，得到如图所示的频率分布直方图.(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)

(1)、试估计这100名果农苹果销售量的平均数；

(2)、假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润.

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19. 在各项均为正整数的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{10} - a_{2} = 16$ ，且 $\frac{a_{7}}{2}$ 为小于10的质数.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n} (a_{n} - 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的焦点与双曲线 $D ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{t} = 1 (t > 0)$ 的焦点相同，且D的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

(1)、求C与D的方程；

(2)、若 $P (0 ， 1)$ ，直线 $l ： y = - x + m$ 与C交于A ， B两点，且直线PA ， PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.

②试问这直线PA ， PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 e^{x} (e^{x} - 2 a) + 4 a x + a^{2}$ .

(1)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < t (e^{x_{1}} + e^{x_{2}})$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 + 3 \cos α ， \\ y = 3 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $\sqrt{2} ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) + 1 = 0$ ，点 $P$ 的极坐标为 $(1 ， π)$ .

(1)、求 $C$ 的普通方程和 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C$ 与 $l$ 交于M ， N两点，求 $| P M | + | P N |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 3 | - | x - 2 |$ ，函数 $g (x) = x^{2} + a x - 1$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集；

(2)、设 $f (x)$ 的最大值为M ，若关于 $x$ 的不等式 $g (x) > M$ 在 $[2 ， 3]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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