湖南省名校联考联合体2020-2021学年高二下学期期末暨新高三适应性联考数学试题

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} < 9}$ ， $B = {x \in N | - 1 < x < 5}$ ，则 $A \cap B$ 的子集个数为（）

A、3 B、2 C、4 D、8

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2. 在 $Rt △ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $D$ 点是 $A B$ 边上的中点， $B C = 6$ ， $C A = 8$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 的值为（）

A、-14 B、-6 C、14 D、-12

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3. 一盒子中有5个球，其中红球3个，白球2个，现从中任取两个球，则恰好一个白球一个红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $a = 2 b^{2}$ B、 $a = 2 b$ C、 $3 a^{2} = 4 b^{2}$ D、 $3 a = 4 b$

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5. 偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x)$ 是增函数，则 $f (- π)$ 、 $f (2)$ 、 $f (3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (- π) > f (2) > f (3)$ B、 $f (- π) > f (3) > f (2)$ C、 $f (- π) < f (2) < f (3)$ D、 $f (- π) < f (3) < f (2)$

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6. 《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距（）

A、 $\frac{5}{4}$ 尺 B、 $\frac{3}{4}$ 尺 C、 $\frac{1}{4}$ 尺 D、 $\frac{1}{2}$ 尺

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7. $(x + \frac{y^{2}}{x}) {(x - 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{3}$ 项的系数为（）

A、-24 B、-40 C、24 D、-30

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8. 动漫作品《火影忍者》描述配合忍术结印的手势有12种：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．例如从忍者学校毕业考核的分身术的一个要求是需要按正确的顺序在5秒内完成未-巳-寅结印手势．漫画描述的忍术都需要配合至少3个结印手势且相邻的手势不相同，不同的手势对应不同的忍术．设某忍术需要 $n$ 个手势，则（）

A、当 $n = 7$ 时，共有 $12^{7}$ 种不同的忍术 B、当 $n = 4$ 时，共有 $A_{12}^{4}$ 种忍术 C、当 $n = 3$ 时，共有1452种不同忍术 D、当 $n = 11$ 时的忍术种类是 $n = 10$ 的忍术种类的12倍

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二、多选题

9. 随着经济的不断发展，全国居民人均消费支出也逐步增加，已知2015年全国居民人均消费支出为22000元，通过查阅国家统计局数据发现2020年全国居民人均消费支出约为2015年的1.5倍，下图分别为2015年和2020年全国居民的人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（）

A、2020年的全国人均教育文化娱乐支出金额比2015年的全国人均教育文化娱乐支出金额多 B、2015年和2020年全国人均衣食行支出金额无明显变化 C、2020年全国人均居住和医疗卫生支出金额总和比2015年除衣食行外的全国人均支出金额总和多 D、随着人均消费支出的增加，人们在居住方面投入越来越多

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10. 已知 $a$ ， $b$ 为正数，且 $a + b = 1$ ，那么下列结论中正确的有（）

A、 $a b + \frac{1}{a b}$ 的最小值是2 B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ D、 $2^{a - b} \in (\frac{1}{2} ， 2)$

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11. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $B C$ 上的中点，过 $E$ ， $F$ 的平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成的锐二面角为60°，则正方体被平面 $α$ 所截的截面形状可能为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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12. 著名的欧拉公式为： $e^{iπ} + 1 = 0$ ，其中 $i^{2} = - 1$ ， $e$ 为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ (0 \leq θ < 2 π)$ ，该复数在复平面内对应的向量坐标为 $(\cos θ ， \sin θ)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\ln (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = \frac{π}{3} i$ B、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 $z^{2021} = \bar{z}$ C、若复数 $e^{i α}$ 与复数 $e^{i β}$ 在复平面内表示的向量相互垂直，则 $α - β = \frac{π}{2}$ D、复数 $e^{i α}$ 与复数 ${ie}^{i α}$ 在复平面内表示的向量相互垂直

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三、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{3}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $\sin 2 α =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = x e^{- x} + a$ 在 $[- 1 ， 0]$ 上的最大值为1，则函数 $f (x) = x e^{- x} + a$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为．

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15. 某函数 $f (x)$ 图象关于 $y$ 轴对称，且在 $(0 ， 3)$ 递减，在 $(3 ， + \infty)$ 递增，则此函数可以是（写出一个满足条件的函数解析式即可）

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16. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 12$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $F$ 为抛物线的焦点，若直线 $l$ 与抛物线相交于 $M$ ， $N$ 两点，且与圆相切，切点 $D$ 在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，当直线 $l$ 的斜率为0时， $| M F | + | N F | =$ ；当直线 $l$ 的斜率不确定时， $| M F | + | N F |$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{2 \sin B}{b} + \cos C = 1$ ， $c = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} + a_{n + 2} = 2 a_{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{1} = 1$ ，且满足 $3 S_{n} = b_{n + 1} - 1$ ，记 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} (\log_{2} b_{n} + 3)}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $P C$ ， $P D$ 上的动点，且 $P E \cdot F D = P F \cdot E C$ ．

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P E = \frac{1}{3} P C$ ，且 $P C$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{3}{5}$ ，求二面角 $C - A E - D$ 的余弦值．

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20. 杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展．截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种．如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和中位数；（保留三位有效数字）

(2)、以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，规定：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过第（1）问所求中位数的稻种则检验结束．设检验结束时，检验的次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望．

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21. 设点 $P$ 为双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上任意一点，双曲线 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，右焦点与椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{t + 6} + \frac{y^{2}}{t + 3} = 1 (t > 0)$ 的右焦点重合．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $P$ 作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点 $A$ ， $B$ ，求证：平行四边形 $O A P B$ 的面积为定值，并求出此定值．

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22. 设函数 $f (x) = - x \ln x + a x^{2} + x (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的极值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ ， $k \in N$ ， $g (x) = x^{2} + 2 x$ ，当 $x > 2$ 时，不等式 $2 k (x - 2) + f (x) < g (x)$ 恒成立，试求 $k$ 的最大值．

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