湖南省怀化市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $B = {2 ， 3}$ ， $C = {x \in R | - 1 < x \leq 2}$ ，则 $(A \cap C) \cup B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 复数 $i(1 - i)$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、0 D、-1

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3. 近年来，我国继续大力发展公办幼儿园，积极扶持普惠性民办幼儿园，使得普惠性学前教育资源迅速增加.如图为国家统计局发布的 $2010 ~ 2019$ 年幼儿园数量及学前教育毛入园率统计图.根据该统计图，下列说法不一定正确的是（）
注： $毛入园率 = \frac{适龄儿童入读幼儿园人数}{适龄儿童总人数}$ .

A、2019年，全国共有幼儿园28.1万所 B、2019年的幼儿园数量比上一年大约增长了5.2% C、 $2010 ~ 2019$ 年我国适合入读幼儿园的人数在持续增加 D、 $2010 ~ 2019$ 年我国幼儿园数量及学前教育毛入园率都在持续增加

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4. 已知抛物线 $C$ ： $y = 2021 x^{2}$ ，则（）

A、它的焦点坐标为 $(\frac{2021}{4} ， 0)$ B、它的焦点坐标为 $(0 ， \frac{1}{8084})$ C、它的准线方程是 $x = - \frac{1}{8084}$ D、它的准线方程是 $x = - \frac{2021}{4}$

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5. 二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{11}$ 的展开式中，系数最大的项为（）

A、第5项 B、第6项 C、第7项 D、第8项

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6. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $\lg E = 4.8 + 1.5 M$ .据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍.

A、 $\lg 4.5$ B、4.5 C、450 D、 $10^{4.5}$

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7. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（）

A、辛酉年 B、辛戊年 C、壬酉年 D、壬戊年

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x - x^{2} e^{x} + 1$ ，若存在 $x_{0} > 0$ ，使 $f (x_{0}) \geq a x_{0}$ ，则 $a$ 的最大值为（）

A、0 B、-1 C、 $1 - e$ D、 $1 - e^{2}$

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二、多选题

9. 函数y＝f（x）的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，以下命题错误的是（　　）

A、﹣3是函数y＝f（x）的极值点 B、﹣1是函数y＝f（x）的最小值点 C、y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增 D、y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零．

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10. 如图，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是圆柱的轴截面， $A A_{1}$ 是圆柱的一条母线，已知 $A B = 4$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ B、圆柱的侧面积为 $6 \sqrt{6} π$ C、圆柱的表面积为 $6 \sqrt{6} π + 12 π$ D、圆柱的表面积为 $2 \sqrt{6} π + 6 π$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ， $(A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为 $\frac{π}{12}$ 和 $\frac{7 π}{12}$ ，图象在 $y$ 轴上的截距为 $\sqrt{3}$ ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (\frac{π}{4}) = 1$ D、 $f (x + \frac{π}{3})$ 为偶函数

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12. 下列说法正确的是（）

A、某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则游戏者闯关成功的概率为 $\frac{31}{32}$ B、从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 $\frac{C_{5}^{1} C_{14}^{3}}{C_{15}^{4}}$ C、已知随机变量X的分布列为 $P (X = i) = \frac{a}{i (i + 1)} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $P (X = 2) = \frac{2}{9}$ D、若随机变量 $η \sim N (2, o^{2})$ ，且 $δ = 3 η + 1$ .则 $P (η < 2) = 0.5$ ， $E (δ) = 6$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \lg x + x - 4$ 的零点，且 $x_{0} \in (k ， k + 1)$ ， $k \in Z$ ，则 $k =$ ．

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15. 从1，2，3，4，5，6这六个数任取两个不同的数，则所取两个数的和能被5整除的概率为．

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16. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 $A$ ， $B$ 距离之比 $λ (λ > 0 ， λ \neq 1)$ 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 $A B$ 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是正方体的表面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上的动点，若动点 $P$ 满足 $P A = 2 P D$ ，则点 $P$ 所形成的阿氏圆的半径为；若 $E$ 是 $C D$ 的中点，且正方体的表面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上的动点 $F$ 满足条件 $∠ A P B = ∠ E P D$ ，则三棱锥 $F - A C D$ 体积的最大值是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且满足 $\sqrt{3} b \cos C - c \sin B = 0$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、已知 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积.

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = 1 + a_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n}$ 为 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 的等比中项，求数列 ${\frac{1}{b_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记

A

为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；

B

为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件

A

的频率是事件

B

的频率的2倍．

	不使用手机	使用手机	合计
学习成绩优秀人数	$a$	12
学习成绩不优秀人数	$b$	26
合计

(1)、运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习成绩有影响？

(2)、采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为

X

，求

X

的分布列和数学期望．

参考数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

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20. 如图①所示，在边长为12的正方形 $A A' A_{1}^{'} A_{1}$ 中，点 $B$ ， $C$ 在线段 $A A'$ 上，且 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ．作 $B B_{1} / / A A_{1}$ ．分别交 $A_{1} A_{1}^{'}$ ， $A A_{1}^{'}$ 于点 $B_{1}$ ， $P$ ；作 $C C_{1} / / A A_{1}$ ，分别交 $A_{1} A_{1}^{'}$ ， $A A_{1}^{'}$ 于点 $C_{1}$ ， $Q$ ．现将该正方形沿 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 折叠，使得 $A' A_{1}^{'}$ 与 $A A_{1}$ 重合，构成如图②所示的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，求证： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、求平面 $P A Q$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (- 1 ， - 1)$ ，c为椭圆的半焦距，且 $c = \sqrt{2} b$ .过点P作两条互相垂直的直线l₁ ， l₂与椭圆C分别交于另两点M ， N.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线l₁的斜率为-1，求△PMN的面积；

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x + e^{x} - a x$ ， $g (x) = (x^{2} - 2 x - 1) e^{x} - x^{2}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若对任意 $x \in (0 ， 1)$ ， $f (x) + g (x) < 0$ ，求整数 $a$ 的最小值．

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