湖北省2020-2021学年高二下学期数学7月期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. $| 2 - 2 i | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、8

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$ ”的否定为（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} + \cos x_{0} \leq \sqrt{2}$ B、 $\forall x \notin R$ ， $\sin x + \cos x > \sqrt{2}$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $\sin x_{0} + \cos x_{0} > \sqrt{2}$ D、 $\forall x \in R$ ， $\sin x + \cos x > \sqrt{2}$

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3. 曲线 $y = x^{3} - 2 x^{2}$ 在点 $(1 ， - 1)$ 处的切线方程是（）

A、 $y = - x$ B、 $y = - x - 1$ C、 $y = x - 2$ D、 $y = 2 x - 3$

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4. 若点 $P (1 ， 1)$ 在圆 $C ： x^{2} + y^{2} + x - y + k = 0$ 的外部，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $[- 2 ， - \frac{1}{2})$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， 2)$

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5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中， $A C = C B = C C_{1}$ ，则二面角 $C_{1} - A B - C$ 的正切值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知随机变量 $ξ ~ N (1 ， σ^{2})$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $P (ξ \leq a) = P (ξ \geq b)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{2}$ C、4 D、9

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7. 某校为了了解学生性别与对篮球运动的态度（喜欢或不喜欢），随机抽取部分同学进行了一次调查，其中被调查的男生和女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，若有超过99%的把握认为性别与对篮球运动的态度有关，则被调查的总人数可能为（）

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k）

0.010

0.001

k

6.635

10.828

A、100 B、120 C、145 D、160

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8. 已知 $a$ ， $b$ 为正数， $\ln \frac{2 a}{b} > 3^{b} - 9^{a} + \frac{1}{2}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a < 2 b$ B、 $b < 2 a$ C、 $a < b^{2}$ D、 $b < a^{2}$

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二、多选题

9. 下列函数是奇函数的是（）

A、 $f (x) = x \cos x$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ C、 $f (x) = \lg | x |$ D、 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$

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10. 关于二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式，下列结论正确的是（）

A、各项二项式系数之和为 $2^{10}$ B、各项系数之和为1 C、只有第5项的二项式系数最大 D、常数项为672

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 满足：① $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ 对称；② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称；③方程 $f (x) = 0$ 在 $(0 ， \frac{π}{6})$ 上至多有2个实数根，则 $ω$ 的值可以是（）

A、2 B、8 C、10 D、18

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12. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，点 $A$ ， $B$ 是 $E$ 上关于原点对称的两点，点 $P$ 是 $E$ 的右支上位于第一象限的动点（不与点 $A$ 、 $B$ 重合），记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、以线段 $A B$ 为直径的圆与 $E$ 可能有两条公切线 B、 $k_{1} k_{2} = 3$ C、存在点 $P$ ，使得 $| k_{1} | + | k_{2} | = 3$ D、当 $a = 2$ 时，点 $P$ 到 $E$ 的两条渐近线的距离之积为3

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三、填空题

13. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $C A_{1}$ 的中点，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ ．

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14. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若 $O$ 为坐标原点， $△ O M N$ 的重心为点 $G (2 ， \frac{4}{3})$ ，则 $| M N | =$ ．

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15. 为了缓解早高峰期的交通压力，社区安排5名志愿者到3个路口协助交警维持交通秩序，每人只到1个路口，每个路口至少安排1人，则不同的安排方法总数是．（用数字作答）

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 2 \sqrt{13}$ ， $A + C = 2 B$ ，且 $4 \sin A = 3 \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S =$ ；若 $\vec{B C} = 6 \vec{B M} = 2 \vec{M N}$ ，则 $\tan ∠ M A N$ 的值为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且满足： $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sin x + a x$ ，其中 $x \in [0 ， π]$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数．

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19. 最近，新冠疫苗接种迎来高峰，市民在当地医院即可免费接种，根据国家卫生健康委员会的数据，我国总接种量排名世界第一，有望早日建立起全民免疫屏障．某医院抽取部分已接种疫苗的市民进行统计调查，将年龄按 $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60]$ 分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中市民年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、以频率估计概率，若从当地所有的已接种市民中随机抽取3人进行电话回访，记其中年龄在 $[30 ， 50)$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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20. 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥 $P - A B C D$ ，其中 $A C ⊥ B D$ 于 $O$ ， $O A = O B = O D = 4$ ， $O C = 8$ ， $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $P D ⊥ A C$ ；

(2)、试验表明，当 $P O = \frac{1}{2} O A$ 时，风筝表现最好，求此时直线 $P D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ ， $B$ 分别为 $C$ 的上顶点与右顶点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为6，且 $| A B | = \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = k (x - 4) (k \neq 0)$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，记点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q$ ，求证：直线 $N Q$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 3) \ln x - k x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[e^{- 1} ， 1]$ 上单调递增，求实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $k \in Z$ ， $\forall x \in [e^{- 1} ， e^{2}]$ ， $f (x) > x$ ，求 $k$ 的最大值．

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P（K²≥k）	0.010	0.001
k	6.635	10.828