河北省部分名校2020-2021学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $2 x_{0}^{2} - x_{0} - 3 < 0$ ”的否定是（）．

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $2 x_{0}^{2} - x_{0} - 3 < 0$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $2 x^{2} - x - 3 < 0$ C、 $\exists x_{0} > 0$ ， $2 x_{0}^{2} - x_{0} - 3 \geq 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $2 x^{2} - x - 3 \geq 0$

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2. 已知集合 $A = {x | \log_{2} (x + 1) < 2}$ ， $B = {x | 2 x^{2} - 5 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）．

A、 ${x | - \frac{1}{2} < x \leq 3}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 3}$ C、 ${x | - \frac{1}{2} \leq x < 3}$ D、 ${x | x \leq 3}$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ ，则函数 $y = - f (| x |)$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. “ $m > 4$ ”是“函数 $f (x) = x + \frac{m}{x} (x > 0)$ 的最小值大于4”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. ${(2 x - \frac{a}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为 $- 160$ ，则 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、240 B、120 C、180 D、-240

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6. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果．“三药”分别为金花清感颗粒连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选三种，事件 $A$ 表示选出的三种中至少有两药，事件 $B$ 表示选出的三种中恰有一方，则 $P (B | A) =$ （）．

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ， $a = f (\ln \frac{1}{π})$ ， $b = f (\log_{π} \frac{1}{e})$ ， $c = f (\ln π^{e})$ ，则（）．

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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8. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周髀算经》九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟将这5部专著分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则《九章算术》《孙子算经》不在同一组的概率为（）．

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{1}{10}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）．

A、若事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ B、将两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学恰好相邻的概率为 $\frac{1}{2}$ C、若随机变量 $ξ \sim N (2 ， σ^{2})$ ， $P (ξ \geq 4) = 0.18$ ，则 $P (0 \leq ξ \leq 2) = 0.64$ D、若随机变量 $η \sim B (8 ， \frac{3}{4})$ ，则 $E (η) = 6$ ， $D (η) = 1.5$

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10. 地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为 $M = \lg \frac{A_{\max}}{A_{0}}$ （其中常数 $A_{0}$ 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅， $A_{\max}$ 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量 $E$ （单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知 $E = 10^{4.8} \times 10^{1.5 M}$ ，其中 $M$ 为地震震级．下列说法正确的是（）．

A、若地震震级 $M$ 增加1级，则最大振幅 $A_{\max}$ 增加到原来的10倍 B、若地震震级 $M$ 增加1级，则放出的能量 $E$ 增加到原来的10倍 C、若最大振幅 $A_{\max}$ 增加到原来的100倍，则放出的能量 $E$ 也增加到原来的100倍 D、若最大振幅 $A_{\max}$ 增加到原来的100倍，则放出的能量 $E$ 增加到原来的1000倍

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11. 若关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2} x^{2} - 2 m \ln x - \frac{1}{2} \geq 0$ 在 $[2 ， 4]$ 上有解，则实数 $m$ 的取值可以是（）．

A、-1 B、1 C、 $\frac{1}{\ln 2}$ D、 $\frac{2}{\ln 2}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos x}{e^{x} - x}$ ，则（）．

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上的最大值为1 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上为减函数 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且仅有1个零点

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x} ， x \geq 2 \\ f (x + 2) ， x < 2 \end{array}$ ，则 $f (\log_{2} 3) =$ ．

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14. 为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动该校高一年级部7个班级分别去3个革命老区研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，则不同的安排方法共有种．（用数字作答）

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15. 已知偶函数 $f (x)$ 是在 $R$ 上连续的可导函数，当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ ，则函数 $F (x) = x^{2} f (x) - 1$ 的零点个数为．

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16. 已知 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则 $n =$ ，展开式中的常数项为．

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四、解答题

17. 某中学调查了该校某班50名同学参加棋艺社团和武术社团的情况，数据如下表所示：

参加棋艺社团

未参加棋艺社团

参加武术社团

10

12

未参加武术社团

8

20

(1)、能否有95%的把握认为参加棋艺社团和参加武术社团有关？

(2)、已知既参加棋艺社团又参加武术社团的10名同学中，有4名男同学，6名女同学．现从这10名同学中随机选6人参加综合素质大赛，求被选中的女生人数 $X$ 的分布列．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k₀）

0.10

0.05

0.025

k₀

2.706

3.841

5.024

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a^{2} x^{3} - \frac{5}{2} a x^{2} + 6 x + 1$ 在 $x = 2$ 处取得极大值．

(1)、求 $a$ ；

(2)、求经过点 $(0 ， f (0))$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线斜率．

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19. 在① $f (x)$ 在定义域内单调递减，② $f (x)$ 在定义域内有两个极值点，③当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $g (x) \geq 0$ 恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
问题：已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} - x$ ， $g (x) = e^{x - 1} - 2 a x$ ．

(1)、若 ▲ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $F (x) = f^{'} (x) - g (x)$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，求 $F (x)$ 的最值．

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20. 中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，给中国工农业生产和人民生活带来严重影响随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程．该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费 $x$ （亿元）和沙漠治理面积 $y$ （万亩）的相关数据如下表所示：

年份

2017

2018

2019

2020

$x$

2

3

4

5

$y$

24

37

47

52

(1)、通过散点图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3)、若保持以往沙漠治理经费的增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积可突破80万亩．
参考数据： $\sqrt{2290} \approx 47.8$ ．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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21. 雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分．近年来某市教育局积极推广经典诗文诵读活动，致力于营造“诵读国学经典，积淀文化底蕴”的书香校园，引导广大学生熟悉诗词歌赋，亲近中华经典，感悟中华传统文化的深厚魅力，丰厚学生的人文积淀．该市教育局为调查活动开展的效果，对全市参加经典诗文诵读活动的学生进行了测试，并从中抽取了1000份试卷，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：

成绩/分	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
频数	25	50	150	275	300	150	50

(1)、用分层抽样的方法从成绩落在

[70 ， 100]

内的试卷中抽取10份试卷，再从中选取3份试卷，求这3份试卷中恰有2份试卷成绩落在

[80 ， 90)

内的概率．

(2)、该市教育局为激励广大学生对中国传统文化的学习的热情，准备对成绩在

[80 ， 100]

内的学生给予奖励，奖励方案如下：成绩在

[90 ， 100]

内评为一等奖，获2次随机送学习补贴金的机会；成绩在

[80 ， 90)

内评为二等奖，获1次随机送学习补贴金的机会．每次随机送学习补贴金的金额与概率如下：

金额/元	10	20	30
概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

已知某学生估计自己的成绩在 $[80 ， 100]$ 内，记 $X$ 为该学生在此次活动中获得的学习补贴金的金额，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} \ln x - a x + 1$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

(2)、若函数 $y = f (x) - a x^{3} + a x - 1$ 的两个零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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	参加棋艺社团	未参加棋艺社团
参加武术社团	10	12
未参加武术社团	8	20

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025
k₀	2.706	3.841	5.024

年份	2017	2018	2019	2020
$x$	2	3	4	5
$y$	24	37	47	52