北京市房山区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-07-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $M = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ，则集合 $∁_{U} M =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | x < - 2$ 或 $x > 3}$ C、 ${x | - 2 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | x \leq 2$ 或 $x \geq 3}$

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2. 若 $a > b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a - 1 > b - 2$ D、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$

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3. 已知命题p：所有能被2整除的整数都是偶数，那么 $\neg p$ 为（）

A、所有不能被2整除的整数都是偶数 B、所有能被2整除的整数都不是偶数 C、存在一个不能被2整除的整数是偶数 D、存在一个能被2整除的整数不是偶数

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4. 要得到函数 $y = \cos 3 x (x \in R)$ 的图象，只需将函数 $y = \cos x (x \in R)$ 的图象上的所有点（）

A、横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ （纵坐标不变） B、横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变） C、纵坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ （横坐标不变） D、纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）

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5. $\sin (\frac{10 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$ 的一条对称轴可以为（）

A、 $x = - \frac{π}{2}$ B、 $x = 0$ C、 $x = \frac{π}{4}$ D、 $x = \frac{π}{2}$

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7. 若命题“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $a x + 1 > 0$ ”是真命题，则a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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8. “ $- 2 < x < 3$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ 成立”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 一个半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水轮上的点P从水中浮现时开始计时，即从图中点 $P_{0}$ 开始计算时间．当时间 $t = 10$ 秒时，点P离水面的高度为（）

A、3m B、2m C、1m D、0m

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10. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sin x$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6})$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 在 $(- π ， 0)$ 上恰有一个零点

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二、填空题

11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{4} + a_{6} = 12$ ，则 $a_{3} =$ ．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $\cos A = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan A =$ ．

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13. 能够说明“设 $θ \in R$ ，若 $\sin θ < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $0 < θ < \frac{π}{4}$ ”为假命题的一个 $θ$ 的值为．

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14. 已知在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = b^{n} (b > 0)$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ．给出下列四个结论：
① $b = 1$ 时， $S_{5} = 3$ ；

② $a_{3} > 0$ ；

③当 $b > 1$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是递增数列；

④对任意 $b > 0$ ，存在 $λ \in R$ ，使得数列 ${a_{n} - λ b^{n}}$ 成等比数列．

其中所有正确结论的序号是．

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15. 已知函数 $f (x) = \ln (2 x + 1)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为； $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) =$ ．

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16. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T =$ ，函数 $f (x)$ 的解析式为．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{5} = \frac{1}{8} a_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、比较 $S_{n}$ 与2的大小，并说明理由．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ ， $β$ 的顶点都与坐标原点重合，始边都落在x轴的正半轴．角 $α$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{4}{5} ， \frac{3}{5})$ ，将角 $α$ 的终边逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 后得到角 $β$ 的终边．

(1)、直接写出 $\sin α$ ， $\cos α$ 的值；

(2)、将 $β$ 用含 $α$ 的代数式表示；

(3)、求 $\sin (α + β)$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \sin^{2} x + m$ ，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
条件①： $f (x)$ 的最大值与最小值之和为0；

条件②： $f (\frac{π}{2}) = 0$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求m的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间．

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20. 某公司欲将一批货物从甲地运往乙地，甲地与乙地相距120千米，运费为每小时60元，装卸费为1000元，货物在运输途中的损耗费的大小（单位：元）是汽车速度（千米/小时）值的2倍．（注：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）

(1)、若汽车的速度为50千米/小时，求运输的总费用；

(2)、汽车以每小时多少千米的速度行驶时，运输的总费用最小？求出最小总费用．

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21. 已知函数 $f (x) = (a x^{2} + x + 1) e^{x} (a \leq \frac{1}{2})$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $x \leq 0$ 时， $f (x) \leq 1$ ．

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