山东省济南市历下区2020-2021学年七年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-07-13 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.）

1. 实数 $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ，0，-2中，无理数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、-2

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2. 下面是华西、齐鲁、湘雅、协和四家医院的标志图案，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$ B、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}} = 3$

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4. 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：

支撑物的高度 $h (c m)$	10	20	30	40	50	60	70	80
小车下滑的时间 $t (s)$	4.23	3.00	2.45	2.13	1.89	1.71	1.59	1.50

下列说法错误的是（）

A、当h=60cm时，t=1.71s B、随着h逐渐升高，t逐渐变小 C、h每增加10cm，t减小1.23s D、随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快

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5. 如图，直角三角板 $A B C$ 的直角顶点 $C$ 在直线 $b$ 上，若 $∠ 1 = 50 °$ ， $a // b$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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6. 下列说法正确的是（）

A、“短跑运动员1秒跑完100米”是随机事件 B、“将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C、“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 D、“画一个三角形，其内角和一定等于180°”是必然事件

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7. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）

A、 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ B、1，1， $\sqrt{2}$ C、6，8，10 D、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$

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9. 一个袋中装有红、黑、黄三种颜色小球共15个，这些球除颜色外均相同，其中红色球有5个，若从袋中任意取出一个球，取到黄色球的概率为 $\frac{1}{5}$ ，则黑色球个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 若 $A$ 在 $B$ 的北偏西30°方向，那么 $B$ 在 $A$ 的（）方向.

A、北偏西60° B、南偏东60° C、北偏西30° D、南偏东30°

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11. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $B C = 9$ ， $A C = 12$ ， $∠ B C A = 90 °$ ，在 $A C$ 边上取一点 $E$ ，以 $B E$ 为折痕，使 $A B$ 的一部分与 $B C$ 重合， $A$ 与 $B C$ 延长线上的点 $D$ 重合，则 $D E$ 的长为（）

A、7.5 B、8 C、8.5 D、9

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12. 已知 $\min {\sqrt{x} ， x^{2} ， x}$ 表示取三个数中最小的那个数，例如：当 $x = 9$ ， $\min {\sqrt{x} ， x^{2} ， x} = \min {\sqrt{9} ， 9^{2} ， 9} = 3$ .当 $\min {\sqrt{x} ， x^{2} ， x} = \frac{1}{16}$ 时，则 $x$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{256}$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13. 通过估算，比较大小： $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ $\frac{1}{2}$

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14. 计算： $(6 a b + 8 b) \div 2 b =$ .

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15. 植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为（结果精确到0.1）

植树总数 $n$	400	1500	3500	7000	9000	14000
成活数 $m$	369	1335	3203	6335	8073	12628
成活的频率 $\frac{m}{n}$	0.923	0.890	0.915	0.905	0.897	0.902

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16. 如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线，点 $P$ 是 $O C$ 上一点， $P M ⊥ O B$ 于点 $M$ ，点 $N$ 是射线 $O A$ 上的一个动点，若 $P M = 6$ ，则 $P N$ 的最小值为.

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17. 如图， $B C = 3$ ， $A B = 4$ ， $A F = 12$ .则正方形 $C D E F$ 的面积为.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = ∠ B = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ .下列结论：① $∠ C D E = ∠ B A D$ ；② $B D = C E$ ；③当 $D$ 为 $B C$ 中点时， $D E ⊥ A C$ ；④当 $△ A D E$ 为等腰三角形时， $∠ B A D = 30 °$ .其中正确的是（填序号）.

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三、解答題（本大题共9个小题，共78分.）

19. 计算：

(1)、 $(\sqrt{12} + 2) (\sqrt{12} - 2)$ ；

(2)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{8}}$ .

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20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知格点三角形 $A B C$ （顶点是网格线的交点的三角形）.请用无刻度直尺按要求画图，保留作图痕迹.

(1)、画出 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在直线 $l$ 上找一点 $D$ ，使得 $D A + D B$ 的值最小，最小值为.

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21. 已知某正数的两个平方根分别是 $1 - 2 a$ 和 $a + 4$ ， $b + 1$ 的立方根是2，求 $a + b$ 的值.

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22. 如图，已知 $A B // C D$ ， $A B = C D$ ， $B F = C E$ .求证： $A E = D F$ 且 $A E // D F$ .

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23. 如图1和图2均是一个均匀的可以自由转动的转盘，图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转）.小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘.

(1)、求小明转出的数字小于7的概率.

(2)、小穎认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗?为什么?

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24. 济南的泉城广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所.历下区某校七年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：

①测得 $B D$ 的长为15米（注： $B D ⊥ C E$ ）；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.7米.

(1)、求风筝的高度 $C E$ .

(2)、过点 $D$ 作 $D H ⊥ B C$ ，垂足为 $H$ ，求 $B H$ 的长度，

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25. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C > 90 °$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $G$ ，交 $A C$ 于点 $F$ .

(1)、如图1，若 $∠ B = 25 °$ ， $∠ C = 40 °$ ，求 $∠ E A G$ 的度数；

(2)、如图2，若 $A B = A C$ ，求证： $D E = F G$ ；

(3)、当 $△ A E G$ 是等腰三角形时，请直接写出所有可能的 $∠ B$ 与 $∠ C$ 的数量关系.

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26. 在防疫期间，某口罩生产厂为提高生产效益引进了新的设备，其中甲表示新设备的产量 $y$ （万个）与生产时间 $x$ （天）的关系，乙表示旧设备的产量 $y$ （万个）与生产时间 $x$ （天）的关系：

(1)、由图象可知，新设备因工人操作不当停止生产了天；在生产的第7天时，新设备比旧设备多生产万个口罩；

(2)、请你求出新、旧设备每天分别生产多少万个口罩?

(3)、在生产过程中，当 $x$ 为何值时，新旧设备所生产的口罩数量相同，

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27. 本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题.

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，连接 $A C$ .
①小明发现，此时 $A C$ 平分 $∠ B C D$ .他通过观察、实验，提出以下想法：延长 $C B$ 到点 $E$ ，使得 $B E = C D$ ，连接 $A E$ ，证明 $△ A B E ≌ △ A D C$ ，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明 $A C$ 平分 $∠ B C D$ .请你参考小明的想法，写出完整的证明过程.

②如图2，当 $∠ B A D = 90 °$ 时，请你判断线段 $A C$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并证明.

(2)、如图3，等腰 $△ C D E$ 、等腰 $△ A B D$ 的顶点分别为 $A$ 、 $C$ ，点 $B$ 在线段 $C E$ 上，且 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ，请你判断 $∠ D A E$ 与 $∠ D B E$ 的数量关系，并证明.

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四、附加题（本大题共3个题，满分共20分，得分单独评价.）

28. 如图， $A B = 4 cm$ ， $A C = B D = 3 cm$ ， $∠ C A B = ∠ D B A$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上以 $1cm / s$ 的速度由点 $A$ 向点 $B$ 运动，同时，点 $Q$ 在线段 $B D$ 上由点 $B$ 向点 $D$ 运动，设运动时间为 $t (s)$ ，则当 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等时，点 $Q$ 的运动速度为（）

A、 $\frac{1}{3} cm / s$ B、 $1cm / s$ C、 $\frac{3}{2} cm / s$ D、 $2 cm / s$

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29. 先阅读下面的解题过程，然后再解答：
形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的化简，只要我们找到两个数 $a$ ， $b$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 ${(\sqrt{a})}^{2} + {(\sqrt{b})}^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，则有： $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} (a > b)$ .

(1)、根据上述方法化简：
① $\sqrt{11 - 2 \sqrt{30}}$ ；

② $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

(2)、已知 $x = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}$ ，则 $4 x^{2} + 4 x - 2021 =$ .

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30. 定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”.例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C > 90 °$ ， $∠ A C B = α$ ， $∠ A B C = β$ ，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $B C$ 边于点 $D$ .点 $E$ 在直线 $l$ 上，且 $B C = B E$ .

(1)、如图1，若 $A B = A C$ ， $∠ B A E = 2 α$ ，点 $E$ 在 $A D$ 延长线上，图中是否存在“半角三角形”（ $△ A B D$ 除外），若存在，请写出图中的“半角三角形"，并证明；若不存在，请说明理由；

(2)、如图2，若 $A B < A C$ ，保持 $∠ B E A$ 的度数与（1）中的结论相同，请直接写出 $∠ B A E$ ， $α$ ， $β$ 满足的数量关系.

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