吉林省长春市朝阳区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-07-13 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 比 $- 3$ 大1的数是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、2

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2. 空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（）

A、 $2.97 \times 10^{5}$ B、 $2.97 \times 10^{6}$ C、 $2.97 \times 10^{- 5}$ D、 $2.97 \times 10^{- 6}$

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3. 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x \geq 4 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x < 3$ C、 $2 \leq x < 3$ D、 $2 < x \leq 3$

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5. 如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得 $A C = 15 m$ ，则树的高度 $A B$ 为（）

A、 $\frac{15}{\tan α} m$ B、 $15 \tan α m$ C、 $\frac{15}{\sin α} m$ D、 $15 \sin α m$

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6. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在 $A B$ 异侧，连接 $O C$ 、 $C D$ 、 $D A$ ．若 $∠ B O C = 130 °$ ，则 $∠ D$ 的大小是（）

A、15° B、25° C、35° D、50°

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7. 如图，C是直线 $A B$ 外一点，按下列步骤完成作图：（）
⑴以点C为圆心，作能与直线 $A B$ 相交于D、E点的圆弧．

⑵分别以点D和点E为圆心， $D E$ 长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结 $D F$ 、 $E F$ ．

⑶作直线 $C F$ 交 $A B$ 于点G．

根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：① $C F ⊥ A B$ ；② $D E = F G$ ；③ $∠ D F G = ∠ E F G$ ；④ $D F = 2 D G$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、③④ D、①④

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8. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 $O A C B$ 的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线 $B O - O A$ 上，连结 $C P$ ，交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点Q．若 $C Q = 2 P Q$ ，则k的取值范围是（）

A、 $1 \leq k \leq \frac{5}{3}$ B、 $1 \leq k \leq 2$ C、 $\frac{5}{3} \leq k \leq 3$ D、 $1 \leq k \leq 3$

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二、填空题

9. 分解因式：a²+ab= ．

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10. 已知a，b为两个连续的整数，且a＜ $\sqrt{5}$ ＜b，则b^a＝．

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11. 若关于x的一元二次方程x²﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（写出一个即可）

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12. 如图， $B E$ 是正五边形 $A B C D E$ 的对角线．若过点A作直线 $l / / B E$ ，则 $∠ 1$ 的大小是度．

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13. 如图，在扇形 $A O D$ 中，点B、C将 $\overset{⌢}{A D}$ 三等分，连结 $O B$ 、 $O C$ ，⊙O的切线 $D E$ 交 $O C$ 的延长线于点E，过点B、C分别作 $B G ⊥ O A$ 于点， $C F ⊥ O B$ 于点F．若 $∠ A O D = 135 °$ ， $O A = 4$ ，则图中阴影部分图形的面积和为．（结果保留π）

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 $(- 1 ， - 1)$ 、 $(2 ， - 1)$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点P在线段 $A B$ 上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．若 $x_{1}$ 的最小值是 $- 2$ ，则 $x_{2}$ 的最大值是．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(3 a + b)}^{2} + (3 a + b) (3 a - b)$ ，其中 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = - 3$ ．

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16. 如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率．

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17. 某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．

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18. 图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 $A B$ 的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以 $A B$ 为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)、在图①中画一个四边形 $A B C D$ ，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．

(2)、在图②中画一个面积为16的四边形 $A B E F$ ，使该四边形只是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．

(3)、在图③中画一个四边形 $A B G H$ ，使 $∠ H = 90 °$ ，且点O在所画四边形的边上．

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19. 某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）

（收集整理数据）

男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105

女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109

（分析数据）两组数据的平均数、中位数、众数如下表：

统计量

数值

组别

平均数（单位：分钟）

中位数（单位：分钟）

众数（单位：分钟）

男生

66.7

68.5

女生

69.7

69.88

根据以上信息解答下列问题：

(1)、a= ， b= ．

(2)、如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数．

(3)、王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．

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20. 如图， $B D$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线，且 $B D ⊥ B C$ ， $D E$ 、 $B F$ 分别是边 $A B$ 、 $C D$ 的中线．

(1)、求证：四边形 $D E B F$ 是菱形．

(2)、若 $A B = 9$ ， $\sin A = \frac{2}{3}$ ，则点E、F之间的距离为．

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21. 一艘轮船在航行中遇到暗礁船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为 $y (t)$ ，时间为 $x (min)$ ，y与x之间的函数图象如图所示．

(1)、修船过程中排水速度为 $t/min$ ，a的值为．

(2)、求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

(3)、当船内积水量是船内最高积水量的 $\frac{1}{2}$ 时，直接写出x的值．

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22. （教材呈现）如图是华师版八年级上册数学教材第79页的部分内容．

(1)、请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程．
（拓展）如图②， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 4$ ， $A D$ 是边 $B C$ 的中线．将 $△ A C D$ 绕着点A顺时针旋转角度 $α (0 < α < 360 °)$ 得到 $△ A C^{'} D^{'}$ ，连结 $B C^{'}$ ，如图③．

(2)、设边 $C^{'} D^{'}$ 与边 $B D$ 相交于点E，若E为边 $B D$ 的中点，则 $B C^{'}$ 的长为．

(3)、连结 $B D^{'}$ ，在整个旋转过程中， $△ B C^{'} D^{'}$ 面积的最大值为．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 15$ ， $A B = 25$ ．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线 $A C - C B$ 向终点B运动，当点P不与 $△ A B C$ 顶点重合时，作 $∠ C P Q = 135 °$ ，交边 $A B$ 于点Q，以 $C P$ 、 $P Q$ 为边作 $▱ C P Q D$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、求 $A C$ 的长

(2)、当点P在边 $A C$ 上时，求点Q到边 $A C$ 的距离（用含t的代数式表示）

(3)、当 $▱ C P Q D$ 的某条对角线与 $△ A B C$ 的直角边垂直时，求 $▱ C P Q D$ 的面积

(4)、以点P为直角顶点作等腰直角三角形 $E P Q$ ，使点E与点C在 $P Q$ 同侧，设 $E Q$ 的中点为F， $▱ C P Q D$ 的对称中心为点O，连结 $O F$ ．当 $O F / / P Q$ 时，直接写出t的值

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24. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 $y = \frac{1}{a} x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ （ $a \neq 0$ ，且a为常数）的图象记为G．

(1)、当点O在图象G上时，求a的值．

(2)、当图象G的对称轴与直线 $x = - 2$ 之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线 $x = - 2$ 与对称轴不重合），求a的取值范围．

(3)、当图象G的 $x \geq 4 a$ 部分的图象的最低点到x轴的距离是 $x < 2 a$ 部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值．

(4)、以点 $A (0 ， - 1)$ 为对称中心，以 $| 4 a |$ 为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为 $| a |$ ，直接写出a的值．

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