黑龙江省鹤岗市2021年中考数学试卷

试卷更新日期：2021-07-13 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列运算中，计算正确的是（）

A、 $m^{2} + m^{3} = 2 m^{5}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 6 a^{6}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$

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2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（）

A、众数 B、中位数 C、平均数 D、方差

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5. 有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）

A、14 B、11 C、10 D、9

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{m + 3}{2 x - 1} = 1$ 的解为非负数，则m的取值范围是（）

A、 $m \geq - 4$ B、 $m \geq - 4$ 且 $m \neq - 3$ C、 $m > - 4$ D、 $m > - 4$ 且 $m \neq - 3$

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7. 为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）

A、5种 B、6种 C、7种 D、8种

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8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的边 $A D ⊥ y$ 轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0$ $， x > 0)$ 的图象同时经过顶点 $C 、 D$ ．若点C的横坐标为5， $B E = 2 D E$ ，则k的值为（）

A、 $\frac{40}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{20}{3}$

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9. 如图，平行四边形 $A B F C$ 的对角线 $A F$ 、 $B C$ 相交于点E，点O为 $A C$ 的中点，连接 $B O$ 并延长，交 $F C$ 的延长线于点D，交 $A F$ 于点G，连接 $A D$ 、 $O E$ ，若平行四边形 $A B F C$ 的面积为48，则 $S_{△ A O G}$ 的面积为（）

A、5.5 B、5 C、4 D、3

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，点E在 $B C$ 的延长线上，连接 $D E$ ，点F是 $D E$ 的中点，连接 $O F$ 交 $C D$ 于点G，连接 $C F$ ，若 $C E = 4$ ， $O F = 6$ ．则下列结论：① $G F = 2$ ；② $O D = \sqrt{2} O G$ ；③ $\tan ∠ C D E = \frac{1}{2}$ ；④ $∠ O D F = ∠ O C F = 90 °$ ；⑤点D到CF的距离为 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③④ B、①③④⑤ C、①②③⑤ D、①②④⑤

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二、填空题

11. 截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到 $14.14$ 万公里，位居世界第二．将数据 $14.14$ 万用科学记数法表示为．

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12. 函数y= $\frac{1}{x - 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形 $A B C D$ 是矩形．

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14. 一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率是．

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15. 关于x的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - a > 0 \\ 3 x - 4 < 5 \end{array}$ 无解，则a的取值范围是．

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16. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，弦 $A C$ 的长为5cm，点D在圆上，且 $∠ A D C = 30 °$ ，则 $⊙ O$ 的半径为．

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17. 若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为 $90 °$ ，则这个圆锥的母线长为 cm．

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18. 如图，在 $R t Δ A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $O A = 4$ ， $O B = 6$ ，以点O为圆心，3为半径的 $⊙ O$ ，与 $O B$ 交于点C，过点C作 $C D ⊥ O B$ 交 $A B$ 于点D，点P是边 $O A$ 上的动点，则 $P C + P D$ 的最小值为．

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19. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B =$ 2cm，将矩形 $A B C D$ 沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线 $A D$ 交于点E，且 $D E =$ 3cm，则矩形 $A B C D$ 的面积为cm² ．

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ， $A B = 1$ ，延长 $C D$ 至 $A_{1}$ ，使 $D A_{1} = C D$ ，以 $A_{1} C$ 为一边，在 $B C$ 的延长线上作菱形 $A_{1} C C_{1} D_{1}$ ，连接 $A A_{1}$ ，得到 $Δ A D A_{1}$ ；再延长 $C_{1} D_{1}$ 至 $A_{2}$ ，使 $D_{1} A_{2} = C_{1} D_{1}$ ，以 $A_{2} C_{1}$ 为一边，在 $C C_{1}$ 的延长线上作菱形 $A_{2} C_{1} C_{2} D_{2}$ ，连接 $A_{1} A_{2}$ ，得到 $Δ A_{1} D_{1} A_{2}$ ……按此规律，得到 $Δ A_{2020} D_{2020} A_{2021}$ ，记 $Δ A D A_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ A_{1} D_{1} A_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ …… $Δ A_{2020} D_{2020} A_{2021}$ 的面积为 $S_{2021}$ ，则 $S_{2021} =$ ．

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三、解答题

21. 先化简，再求值： $(a - \frac{a^{2}}{a + 1}) \div \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 \cos 60 ° + 1$ ．

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22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $△ A B O$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 3) ， B (- 4 ， 3) ， 0 (0 ， 0)$ ．

(1)、画出 $△ A B O$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} O$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A B O$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A_{2} B_{2} O$ ，并写出点 $A_{2}$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，求点A旋转到点 $A_{2}$ 所经过的路径长（结果保留 $π$ ）．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (- 3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，连接 $B C$ ，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线 $E D$ 上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似，请直接写出点P的坐标．

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24. 为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、D、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查中共抽取学生；

(2)、补全条形统计图；

(3)、在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；

(4)、若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？

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25. 已知A、B两地相距 $240km$ ，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离 $y (km)$ 与货车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)、图中m的值是；轿车的速度是 $km/h$ ；

(2)、求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离 $y (km)$ 与行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系式；

(3)、直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距 $12km$ ？

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26. 在等腰 $Δ A D E$ 中， $A E = D E$ ， $Δ A B C$ 是直角三角形， $∠ C A B = 90 °$ ， $∠ A B C = \frac{1}{2} ∠ A E D$ ，连接 $C D 、 B D$ ，点F是 $B D$ 的中点，连接 $E F$ ．

(1)、当 $∠ E A D = 45 °$ ，点B在边 $A E$ 上时，如图①所示，求证： $E F = \frac{1}{2} C D$ ．

(2)、当 $∠ E A D = 45 °$ ，把 $Δ A B C$ 绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当 $∠ E A D = 60 °$ ，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $E F$ 和 $C D$ 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

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27. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．

(1)、求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

(2)、若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

(3)、在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

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28. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A O B$ 的边 $O A$ 在x轴上， $O A = A B$ ，且线段 $O A$ 的长是方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的根，过点B作 $B E ⊥ x$ 轴，垂足为E， $\tan ∠ B A E = \frac{4}{3}$ ，动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段 $A B$ 向点B运动，到达点B停止．过点M作x轴的垂线，垂足为D，以 $M D$ 为边作正方形 $M D C F$ ，点C在线段 $O A$ 上，设正方形 $M D C F$ 与 $Δ A O B$ 重叠部分的面积为S，点M的运动时间为 $t (t > 0)$ 秒．

(1)、求点B的坐标；

(2)、求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

(3)、当点F落在线段 $O B$ 上时，坐标平面内是否存在一点P，使以 $M 、 A 、 O 、 P$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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